2023版高考数学一轮复习核心素养测评六十四圆锥曲线中的探究性问题理北师大版.doc

核心素养测评六十四 圆锥曲线中的探究性问题
1. (2019·德州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是椭圆C上的一个动点,且△PF1F2面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设直线PF2斜率为k(k≠0),且PF2与椭圆C的另一个交点为Q,是否存在点T(0,t),使得|TP|=|TQ|.若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)当P为C的短轴顶点时,△PF1F2的面积有最大值,
所以 ,解得 ,
故椭圆C的方程为:+=1.
(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1),
将y=k(x-1)代入+=1,
得x2-8k2x+4k2-12=0;
设P,Q,线段PQ的中点为N,
x0==,y0=
=k=,
即N,
因为|TPTQ|,所以直线TN为线段PQ的垂直平分线,所以TN⊥PQ,则kTN·kPQ=-1,
即·k=-1,所以t==,
当k>0时,因为4k+≥4(当且仅当k=时取等号),所以t∈,当k<0时,因为4k+≤-4(当且仅当k=-时取等号),所以t∈.综上,存在点T,使得|TPTQ|,且t的取值范围为∪.
2.已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点与抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F重合,且点F到E的准线的距离为2.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若直线l与C交于M,N两点,与E交于A,B两点,且·=-4(O为坐标原点),求△MNF面积的最大值.
【解析】(1)因为点F到E的准线的距离为2,
所以p=2,F(1,0),
由 解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)知抛物线E的方程为y2=4x.
要使直线l与抛物线E交于两点,则直线l的斜率不为0,可设l的方程为x=my+n,
由 得y2-4my-4n=0
所以Δ=(-4m)2+16n>0,得m2+n>0.
设A,B 则
所以x1x2=·===n2,
因为·=-4,
所以x1x2+y1y2=-4,
所以n2-4n=-4,所以n=2,
所以直线l的方程为x=my+2,
所以直线l过椭圆C的右顶点(2,0),
不妨设M(2,0),N(x3,y3),-≤y3≤,且y3≠0,
所以S△MNF=|MF||y3|≤,
当且仅当y3=±时,(S△MNF)max=.