2022-2022学年高中数学课时分层作业24两角和与差的余弦含解析苏教版必修.doc

课时分层作业(二十四)　两角和与差的余弦
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．cos(x＋27°)cos(18°－x)－sin(18°－x)sin(x＋27°)等于(　　)
A．0　　　　B.　　　　C.　　　　D.
C　[原式＝cos(x＋27°＋18°－x)＝cos 45°＝.]
2．若x∈[0，π]，sin sin ＝cos cos ，则x的值是(　　)
A. B. C. D.
D　[∵cos cos －sin sin ＝0，
∴cos＝0，∴cos x＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.]
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β的值为(　　)
A．0 B. C. D.
A　[cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，
∴2cos αcos β＝0.
∴cos αcos β＝0.]
4．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|＝(　　)
A. B. C. D．1
D　[|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
∴|a－b|＝＝＝1.]
5．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝(　　)
A. B．－ C. D．－
B　[由题意，知sin α＋sin β＝－sin γ，①
cos α＋cos β＝－cos γ.②
①2＋②2，得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.]
二、填空题
6．已知cos α＝，α∈，则cos＝________.
　[因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝＝＝，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.]
7．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定为________三角形．
钝角　[由sin Asin B＜cos Acos B得
cos(A＋B)＞0，
∴cos C＜0.
∴C＞90°，∴△ABC为钝角三角形．]
8．已知a＝(cos α，sin β)，b＝(cos β，sin α)，0<β<α<，且a·b＝，则α－β＝________.
　[a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，
又0<β<α<，
所以0<α－β<，故α－β＝.]
三、解答题
9．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．
[解]　∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝，
cos＝＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
10．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．
[解]　∵α＜β，cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝－.
∵α为锐角，cos 2α＝，∴sin 2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－.
∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝.
[等级过关练]
1．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)且a·b＝1，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形　　 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B　[因为a·b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．]
2．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝(　　)

A.　　　　B．－ C.　　　　 D．－
C　[易知sin α＝，cos β＝，又因为α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.]
3．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________.
　[由已知sin α＝，cos α＝，
cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝×＋×＝.]
4．已知sin＝，则cos α＋sin α＝________.
　[sin＝cos＝cos
＝coscos α＋sinsin α
＝cos α＋sin α
＝(cos α＋sin α)＝，
∴cos α＋sin α＝.]
5．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
[解]　(1)∵f(x)＝2cos(ω＞0)的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
而α，β∈，f＝－，f＝，
∴2cos＝－，
2cos＝，
即cos＝－，cos β＝，
于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.