高优指导2021版高考数学一轮复习第九章解析几何46直线与圆锥曲线考点规范练文北师大版.doc

考点规范练46　直线与圆锥曲线
　考点规范练B册第34页　 
基础巩固组
1.若过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则这样的直线有(　　)

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案:C
2.(2015武汉调研)已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案:D
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式作差并化简变形得=-,而,x1+x2=2,y1+y2=-2,所以a2=2b2,又因为a2-b2=c2=9,于是a2=18,b2=9.故选D.
3.(2015辽宁丹东二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线经过C上一点M,且与C的准线交于点N,则|MF|=(　　)
A.5 B.6
C.10 D.5或10〚导学号32470821〛
答案:A

解析:如图,MN与C的准线交于点N,
∴p=2.∴抛物线方程为y2=4x,得F(1,0).
设E(-1,m)(m>0),
则EF中点为G,kEF=-.
又N,
∴kNG=,则-=-1,解得m=4.∴kNG=,
则NG所在直线方程为y-(x+1),
即x-2y+4=0.
联立y2=4x,得M(4,4),
∴|MF|=4+1=5.
4.(2015全国Ⅰ,文5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
答案:B
解析:∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),
∴E的右焦点的坐标为(2,0).
设椭圆E的方程为=1(a>b>0),∴c=2.
∵,∴a=4.∴b2=a2-c2=12,
于是椭圆方程为=1.
∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),
∴|AB|=6.
5.(2015辽宁锦州一模)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为(　　)
A.=1 B.y2-=1
C.-x2=1 D.=1〚导学号32470822〛
答案:C
解析:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),
双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0.
∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,
∴.∴a=2b.
∵P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,
∴|FF1|=3.∴c2+4=9.∴c=.
∵c2=a2+b2,a=2b,∴a=2,b=1.
∴双曲线的方程为-x2=1.
6.已知动点P(x,y)在椭圆C:=1上,F为椭圆C的右焦点,若点M满足||=1,且=0,则||的最小值为(　　)
A. B.3 C. D.1
答案:A
解析:由题意可得a=5,c=3.又=0,可知△PMF是直角三角形,故|PM|2=|PF|2-|MF|2≥(a-c)2-1=(5-3)2-1=3.
所以||min=.
7.(2015江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　　.〚导学号32470823〛 
答案:
解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为.

由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于,要使距离d大于c恒成立,只需c≤ 即可,故c的最大值为.
8.(2015全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为　　　　　　　　. 
答案:+y2=
解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以=4-a,解得a=,故圆心为,此时半径r=4-,因此该圆的标准方程是+y2=.
9.(2015石家庄高三质检二)已知椭圆C1:=1(b>0),抛物线C2:x2=4(y-b).过点F(0,b+1)作x轴的平行线,与抛物线C2在第一象限的交点为G,且该抛物线在点G处的切线经过坐标原点O.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l:y=kx与椭圆C1相交于C,D两点,其中点C在第一象限,点A在椭圆C1的右顶点,求四边形ACFD面积的最大值及此时l的方程.
解:(1)由x2=4(y-b)得y=x2+b,
令y=b+1,得x=±2,
∴G点的坐标为(2,b+1),则y'=x,y'|x=2=1.
过点G的切线方程为y-(b+1)=x-2,即y=x+b-1.
令y=0,得x=1-b=0,∴b=1.
∴椭圆的方程为+y2=1.
(2)依题意有k>0,设C(xC,kxC),
由得(1+4k2)x2-4=0,
∴xC=,
S四边形ACFD=S△CFD+S△CDA=×|OF|×2xC+×|OA|×2kxC=2(1+k)xC==4.
令t=1+k,k=t-1,t∈(1,+∞),∈(0,1),
则,
当且仅当t=,k=时,等号成立.
∴S四边形ACFD≤2,∴四边形ACFD面积的最大值为2.
此时l的方程为y=x.〚导学号32470824〛
10.(2015江苏,18)

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
解:(1)由题意,得且c+=3,
解得a=,c=1,则b=1,
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)当AB⊥x轴时,AB=,
又CP=3,不合题意.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为,
且AB=
=.
若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.
从而k≠0,故直线PC的方程为y+=-,
则P点的坐标为,
从而PC=.
因为PC=2AB,
所以,解得k=±1.
此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.
能力提升组
11.(2015四川,文10)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(　　)
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)〚导学号32470825〛
答案:D
解析:如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则
两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).

当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.
当l的斜率k存在,即x1≠x2时,
有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=.
由CM⊥AB,得kCM==-,即x0=3.
因为点M在抛物线内部,所以<4x0=12,
又x1≠x2,所以y1+y2≠0,
即0<<12.
因为点M在圆上,所以(x0-5)2+=r2,即r2=+4.
所以4<r2<16,即2<r<4,故选D.
12.(2015山东,文15)过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为　　　　　.〚导学号32470826〛 
答案:2+
解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=(x-c),与C交于P(x0,y0).
∵x0=2a,∴y0=(2a-c).
又P(x0,y0)在双曲线C上,
∴=1,
∴整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e,
故1-4e+e2=0.
∴e1=2-(舍去),e2=2+.
即双曲线C的离心率为2+.
13.

已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e为,且过点(2,).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)四边形ABCD的四个顶点都在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kAC·kBD=-.求证:四边形ABCD的面积为定值.
(1)解:由题意e==1,
又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,
故椭圆的标准方程为=1.
(2)证明:易知直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,①
由根与系数的关系得
∵kAC·kBD=-=-,∴=-,
∴y1y2=-x1x2=-=-.
又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2+km+m2=,
∴-,
∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.
设原点到直线AB的距离d=,则
S△AOB=|AB|·d=·|x2-x1|·
=
=
==2,
∴S四边形ABCD=4S△AOB=8,
即四边形ABCD的面积为定值.〚导学号32470827〛
14.(2015全国Ⅰ,文20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,
所以<1.解得<k<.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.
由题设可得+8=12,解得k=1,
所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2.
15.(2014浙江,文22)

已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.
(1)若|PF|=3,求点M的坐标;
(2)求△ABP面积的最大值.
解:(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.
设P(x0,y0).由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).
由=3,分别得M或M.
(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
由得x2-4kx-4m=0.
于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,
所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).
由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1).
所以
由=4y0得k2=-m+.
由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.
又因为|AB|=4,
点F(0,1)到直线AB的距离为d=,
所以S△ABP=4S△ABF=8|m-1|
=.
记f(m)=3m3-5m2+m+1.
令f'(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.
可得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f>f.
所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.
所以,△ABP面积的最大值为.

5