高优指导2021版高考数学一轮复习第九章解析几何46直线与圆锥曲线考点规范练文北师大版.doc

考点规范练46直线与圆锥曲线考点规范练B册第34页基础巩固组1.若过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则这样的直线有() A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C2.(2015武汉调研)已知椭圆E:=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式作差并化简变形得=-,而,x1+x2=2,y1+y2=-2,所以a2=2b2,又因为a2-b2=c2=9,于是a2=18,b2=9.故选D.3.(2015辽宁丹东二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线经过C上一点M,且与C的准线交于点N,则|MF|=()A.5B.6C.10D.5或10导学号32470821答案:A解析:如图,MN与C的准线交于点N,p=2.抛物线方程为y2=4x,得F(1,0).设E(-1,m)(m0),则EF中点为G,kEF=-.又N,kNG=,则-=-1,解得m=4.kNG=,则NG所在直线方程为y-(x+1),即x-2y+4=0.联立y2=4x,得M(4,4),|MF|=4+1=5.4.(2015全国,文5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案:B解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为=1(ab0),c=2.,a=4.b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为=1.抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.5.(2015辽宁锦州一模)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a0,b0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为()A.=1B.y2-=1C.-x2=1D.=1导学号32470822答案:C解析:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为ax-by=0.抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a0,b0)渐近线的距离为,.a=2b.P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,|FF1|=3.c2+4=9.c=.c2=a2+b2,a=2b,a=2,b=1.双曲线的方程为-x2=1.6.已知动点P(x,y)在椭圆C:=1上,F为椭圆C的右焦点,若点M满足|=1,且=0,则|的最小值为()A.B.3C.D.1答案:A解析:由题意可得a=5,c=3.又=0,可知PMF是直角三角形,故|PM|2=|PF|2-|MF|2(a-c)2-1=(5-3)2-1=3.所以|min=.7.(2015江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.导学号32470823答案:解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为.由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于,要使距离d大于c恒成立,只需c 即可,故c的最大值为.8.(2015全国,理14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案:+y2=解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a0),所以=4-a,解得a=,故圆心为,此时半径r=4-,因此该圆的标准方程是+y2=.9.(2015石家庄高三质检二)已知椭圆C1:=1(b0),抛物线C2:x2=4(y-b).过点F(0,b+1)作x轴的平行线,与抛物线C2在第一象限的交点为G,且该抛物线在点G处的切线经过坐标原点O.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l:y=kx与椭圆C1相交于C,D两点,其中点C在第一象限,点A在椭圆C1的右顶点,求四边形ACFD面积的最大值及此时l的方程.解:(1)由x2=4(y-b)得y=x2+b,令y=b+1,得x=2,G点的坐标为(2,b+1),则y=x,y|x=2=1.过点G的切线方程为y-(b+1)=x-2,即y=x+b-1.令y=0,得x=1-b=0,b=1.椭圆的方程为+y2=1.(2)依题意有k0,设C(xC,kxC),由得(1+4k2)x2-4=0,xC=,S四边形ACFD=SCFD+SCDA=|OF|2xC+|OA|2kxC=2(1+k)xC=4.令t=1+k,k=t-1,t(1,+),(0,1),则,当且仅当t=,k=时,等号成立.S四边形ACFD2,四边形ACFD面积的最大值为2.此时l的方程为y=x.导学号3247082410.(2015江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆=1(ab0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.解:(1)由题意,得且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当ABx轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB=.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k0,故直线PC的方程为y+=-,则P点的坐标为,从而PC=.因为PC=2AB,所以,解得k=1.此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.能力提升组11.(2015四川,文10)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)导学号32470825答案:D解析:如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=.由CMAB,得kCM=-,即x0=3.因为点M在抛物线内部,所以4x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即012.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+=r2,即r2=+4.所以4r216,即2r0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.导学号32470826答案:2+解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=(x-c),与C交于P(x0,y0).x0=2a,y0=(2a-c).又P(x0,y0)在双曲线C上,=1,整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e,故1-4e+e2=0.e1=2-(舍去),e2=2+.即双曲线C的离心率为2+.13.已知椭圆=1(ab0)的离心率e为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的四个顶点都在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kACkBD=-.求证:四边形ABCD的面积为定值.(1)解:由题意e=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,故椭圆的标准方程为=1.(2)证明:易知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)0,由根与系数的关系得kACkBD=-=-,=-,y1y2=-x1x2=-=-.又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2+km+m2=,-,-(m2-4)=m2-8k2,4k2+2=m2.设原点到直线AB的距离d=,则SAOB=|AB|d=|x2-x1|=2,S四边形ABCD=4SAOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.导学号3247082714.(2015全国,文20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以1.解得k0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1).所以由=4y0得k2=-m+.由0,k20,得-f.所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=.所以,ABP面积的最大值为.5