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课时分层作业(七) 等差数列的性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.]
2．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－ C．2 D.
C [∵an＋1－an＝3，
∴{an}为等差数列，且d＝3.
a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，
a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，
∴log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.]
3．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于( )
A．13 B．3－
C．3－ D．5－
B [设等差数列{an}的公差为d，因为
a1＝5，am＝3，所以d＝＝.
所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－.]
4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．8 B．4 C．6 D．12
A [因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.]
5．下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
C [因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]
二、填空题
6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
－21 [设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴它们的积为－21.]
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
1或2 [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]
8．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km,4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________.
2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.]
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
[解] ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
[能力提升练]
1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
C [根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.]
2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
C [设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.]
3．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________．
[n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.]
4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．
[设自上而下各节的容积构成的等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9.
则
解得故a5＝a1＋4d＝.]
5．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，
又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.
所以数列{cn}为等差数列，且公差d＝12，
所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，
得n≤25，可知两数列共有25个相同的项.
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