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课时分层作业(二十二)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )
A. B.
C. D．5
B [由题意知2r＝＝，r＝.]
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
C [AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心代入，验证知选C.]
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
C [圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.]
4．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．相离 D．外切
A [圆C1的圆心为C1(0，0)，半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为C2(3，4)，半径长r2＝4，所以|C1C2|＝＝5.因为r1－r2＝5，所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和C2内切．]
5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r<＋1 B．r>＋1
C．|r－|<1 D．|r－|≤1
D [由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.
∵两圆有公共点，
∴|r－1|≤≤r＋1，
∴－1≤r≤＋1，
即－1≤r－≤1，
∴|r－|≤1.]
二、填空题
6．两圆相交于点A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线l：x－y＋c＝0上，则m＋c＝________．
3 [由题意可知，AB⊥l，由于kl＝1，故kAB＝－1，
即＝－1，解得m＝5.又AB的中点在直线l上，故3－1＋c＝0，解得c＝－2，所以m＋c＝5－2＝3.]
7．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________________．
(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9 [动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5，－7)为圆心，以3或5为半径的圆．]
8．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为______________________．
x2＋y2－3x＋y－1＝0 [设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标代入直线l的方程：2x＋4y－1＝0，可得λ＝，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.]
三、解答题
9．圆C的半径为3，圆心C在直线2x＋y＝0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆E与圆C关于直线2x－4y＋5＝0对称，试判断两圆的位置关系．
[解] (1)设圆心坐标为C(a，－2a)，则圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，
作CA⊥x轴于点A，在Rt△ABC中，CB＝3，AB＝，
∴CA＝2，所以|－2a|＝2⇒a＝±1，
又因为点C在x轴的下方，所以a＝1，
即C(1，－2)，
所以圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
(2)点C(1，－2)到直线的距离为
d＝＝＝＞3，
所以圆C与直线2x－4y＋5＝0相离．
而圆E与圆C关于直线2x－4y＋5＝0对称，
所以圆E与直线2x－4y＋5＝0也相离，故两圆相离．
10．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
[解] (1)证明：圆C1的圆心C1(1，3)，半径r1＝，
圆C2的圆心C2(5，6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交．
(2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
[等级过关练]
1．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
C [圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，
∴|O1O2|＝＝13，
∴r－R<|O1O2|<R＋r，
∴两圆相交．
∴公切线有2条．]
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x－1)2＋(y－1)2＝5
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
D [由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2，0)，半径为.设点(－2，0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则解得
∴所求圆的圆心为(－1，－1)．
又所求圆的半径为，∴圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.]
3．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长是__________．
[圆C1，C2方程相减得公共弦所在的直线方程为x＋y－1＝0，则圆心C3(1，1)到直线的距离d＝＝，所以所求弦长为2＝2×＝.]
4．如图所示，A，B是直线l上的两点，且|AB|＝2.两个半径长相等的动圆分别与l相切于A，B两点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的最大值是________．
2－ [
如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成的图形面积S取得最大值，此时四边形ABO2O1为矩形，且Smax＝2×1－××12×2＝2－.]
5．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．
(1)若动圆C过点(－5，0)，求圆C的方程；
(2)是否存在正实数r，使得动圆C满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
[解] (1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.
又因为动圆过点(－5，0)，故(－5－a)2＋(0－b)2＝25.
解方程组
得或
故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.
(2)圆O的圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝5.
当r满足r＋5<d时，动圆C中不存在与圆O：x2＋y2＝r2相切的圆；
当r满足r＋5＝d，即r＝5－5时，动圆C中有且仅有一个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；
当r满足r＋5>d，即r>5－5时，与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有两个．
综上，当r＝5－5时，动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个．
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