2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练18.docx

双基限时练(十八)
一、选择题
1．设M＝3x2－x＋1，N＝2x2＋x(x∈R)，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M<N
C．M≤N D．M≥N
解析　M－N＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴M≥N.
答案　D
2．下面选项中正确的是(　　)
A．x4＋1>x3＋x B．x4＋1<x3＋x
C．x4＋1≥x3＋x D．x4＋1≤x3＋x
解析　x4＋1－(x3＋x)＝x3(x－1)－(x－1)＝(x－1)(x3－1)＝(x－1)2(x2＋x＋1)≥0.
答案　C
3．若a>b，则a3与b3的大小关系是(　　)
A．a3>b3 B．a3＝b3
C．a3<b3 D．不确定
解析　a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
＝(a－b).
∵a>b，∴a－b>0.
又2＋b2>0，∴a3>b3.
答案　A
4．已知0<x<y<a<1，m＝logax＋logay，则有(　　)
A．m<0 B．0<m<1
C．1<m<2 D．m>2
解析　m＝logax＋logay＝logaxy，
∵0<x<y<a<1，∴0<xy<a2.
∵0<a<1，∴logaxy>logaa2＝2，选D.
答案：D
5．已知a、b均为正实数，则(　　)
A．a＋b≥2 B．a＋b>2
C．a＋b<2 D．a＋b≤2
解析　a＋b－2＝(－)2≥0.
答案　A
6．设a＝log32，b＝ln2，c＝5－，则(　　)
A．a<b<c B．b<c<a
C．c<a<b D．c<b<a
解析　a＝log32＝，b＝ln2＝，
而log23>log2e>1，∴a<b.
又c＝5－＝，而>2＝log24>log23，
∴c<a，故c<a<b.
答案　C
二、填空题
7．已知a>b>1，设M＝a－，N＝a＋b－2，则M，N的大小关系是________．
解析　∵M－N＝2－b－
＝(－b)＋(－)
∵a>b>1，∴()2－b2＝b(a－b)>0，∴>b.
又ab－b＝b(a－b)>0，∴－>0.
故M－N>0，即M>N.
答案　M>N
8．已知a，b，c∈R＋，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小关系是________．
解析　2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)
＝a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋c2＋a2－2ac
＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2.
∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0.
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
答案　a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
9．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为________．
解析　当a>1时，∵a3＋1>a2＋1，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，∴M>N；
当0<a<1时，a3＋1<a2＋1，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，∴M>N.
综上得M>N.
答案　M>N
三、解答题
10．试比较(lgx)2与lgx2的大小．
解　(lgx)2－lgx2＝lgx(lgx－2)
当x>100，或0<x<1时，
lgx(lgx－2)>0，即(lgx)2>lgx2.
当x＝100，或x＝1时，
lgx(lgx－2)＝0，即(lgx)2＝lgx2.
当1<x<100时，
lgx(lgx－2)<0，即(lgx)2<lgx2.
11．设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．
解　∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)
＝x2＋(2m－1)x＋2m2＋1
＝x2＋(2m－1)x＋2＋2m2＋1－2
＝2＋m2＋m＋
＝2＋＋
＝2＋2＋≥>0，
∴x2－x＋1>－2m2－2mx.
12．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，试比较A与B的大小．
解　∵A＝－＝，
B＝－＝，
∵0<＋<＋，
∴>，∴A>B.
思 维 探 究
13．设a>b>0，试比较与的大小．
解　解法一：作差法
∵－＝＝＝.
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
解法二：作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.