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双基限时练(十八) 平面对量基本定理
一、选择题
1．设e1，e2是同一平面内全部向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2与e1－e2 B．2e1－3e2与4e1－6e2
C．e1＋2e2与2e1＋e2 D．e1＋e2与e2
解析 ∵4e1－6e2＝2(2e1－3e2)，∴2e1－3e2与4e1－6e2共线，即不能作为基底．
答案 B
2．在梯形ABCD中，AB∥CD，且＝3，若＝a，＝b，则等于( )
A．3a＋b B．a＋3b
C.a＋b D．a＋b
解析 ＝＋＝＋＝b＋a.
答案 C
3．设e1，e2为基底，＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值为( )
A. 2 B. －3
C. －2 D. 3
解析 ∵＝－＝3e1－3e2－(2e1－e2)＝e1－2e2，又A，B，D三点共线，
∴(e1－ke2)＝λ(e1－2e2)，即
∴k＝2.
答案 A
4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵＝2，∴＝，
故＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝.
答案 A
5．已知e1，e2是平面α内不共线向量，下列说法错误的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可表示平面α内的全部向量；②若实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；③对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有很多对；④若λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ2e1＋μ2e2＝λ(λ1e1＋μ1e2)．
A．①② B．③④
C．②③ D．①④
解析 ①②正确，③④错误．
答案 B
6．如图，过△ABC的重心作始终线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，，＝y(xy≠0)，则＋的值为( )
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析 欲求＋的值，可依据题设建立关于x，y的等式(方程思想)．
由于D、G、E三点共线，所以＝γ，
又＝x，＝y，＝＝＝＋.故可得y－x
＝γ，整理得
－x＝γ，y＝γ，消去γ得＋＝3，故选B.
答案 B
7.
如图，||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，⊥，设＝x＋y，则x，y的值分别为( )
A．x＝－2，y＝－1
B．x＝－2，y＝1
C．x＝2，y＝－1
D．x＝2，y＝1
解析 过C作CD∥OB交AO的延长线于D，连接BC，由||＝1，|OC|＝，OB⊥OC，知∠COD＝30°，∴BC∥OD，
又＝＋＝－2＋，故x＝－2，y＝1，答案为B.
答案 B
二、填空题
8．在矩形ABCD中，若＝6e1，＝4e2，O为对角线AC与BD的交点，则＝________.
解析 在矩形ABCD中＝＝6e1，＝＝4e2，又＝2＝＋＝6e1＋4e2，∴＝3e1＋2e2.
答案 3e1＋2e2
9．设G为△ABC的重心，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示＝__________.
解析 ＝＋＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(a＋b＋c)．
答案 (a＋b＋c)
10．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三向量的终点在始终线上，则实数t＝________.
解析 如图，∵a，b，t(a＋b)三向量的终点在始终线上．
∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ得(t－λ)a＝b.
又∵a，b不共线，∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.
答案
三、解答题
11．已知三向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3.
问a能否表示成a＝λ1b＋λ2c的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．
解析 a若能表示成a＝λ1b＋λ2c的形式，则有
－e1＋3e2＋2e3＝(4λ1－3λ2)e1＋(－6λ1＋12λ2)e2＋(2λ1＋11λ2)e3.令4λ1－3λ2＝－1，－6λ1＋12λ2＝3，可得λ1＝－，λ2＝，而此时恰好能保证2λ1＋11λ2＝2，
所以a＝－b＋c.
12．梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，试以e1，e2为基底表示向量，，.
解 ∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2.
∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋
＝e1＋(k－1)e2.
又＋＋＋＝0，
且＝－，＝，
∴＝－－－
＝－＋＋＝e2.
13．已知，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上且AN＝2NC，AM交BN于P点，求AP与AM的比值．
解 设＝a，＝b，
则＝＋＝－a－3b，＝2a＋b.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使＝λ＝－λa－3λb，＝μ＝2μa＋μb.
故＝－＝(λ＋2μ)a＋(3λ＋μ)b.
又＝＋＝2a＋3b，
由平面对量基本定理得解得
∴AP与AM的比为4:5.
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