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课时提升作业(三十四)
一、选择题
1.等差数列{an}的公差为3,若a2,a4,a8成等比数列,则a4= ( )
(A)8 (B)10 (C)12 (D)16
2.等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是 ( )
(A)90 (B)100 (C)145 (D)190
3.(2021·茂名模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0,等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数.若a1=d,b1=d2,且是正整数,则q等于 ( )
(A)- (B) (C) (D)-
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小一份为 ( )
(A) (B) (C) (D)
5.(2021·海淀模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an>0,-=1(n∈N*),那么使an<5成立的n的最大值为 ( )
(A)4 (B)5 (C)24 (D)25
6.(2021·合肥模拟)已知数列{an}为等差数列,公差为d,若<-1,且它的前n项和Sn有最大值,则使得Sn<0的n的最小值为 ( )
(A)11 (B)19 (C)20 (D)21
7.在1到104之间全部形如2n和3n(n∈N*)的数,它们各自之和的差的确定值为(lg2≈0.3010) ( )
(A)1 631 (B)6 542 (C)15 340 (D)17 424
8.(力气挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2022年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2022年11月份发觉两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2022年6月份的月产值大小,则有 ( )
(A)甲的产值小于乙的产值
(B)甲的产值等于乙的产值
(C)甲的产值大于乙的产值
(D)不能确定
二、填空题
9.(2021·广州模拟)设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{}的前n项和Sn等于 .
10.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此连续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
11.(2021·深圳模拟)已知a>0,b>0,a,b的等差中项是,且x=a+,y=b+,则x+y的最小值是 .
12.(力气挑战题)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*,若数列{an}是等比数列,则实数t= .
三、解答题
13.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列,
(1)求{an}的公比q.
(2)若a1-a3=3,求Sn.
14.(2022·安徽高考)设函数f(x)=+sinx的全部正的微小值点从小到大排成的数列为{xn}.
(1)求数列{xn}的通项公式.
(2)设{xn}的前n项和为Sn,求sin Sn.
15.(2021·珠海模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=.
(1)求an与bn.
(2)证明:≤++…+<.
答案解析
1.【解析】选C.令首项为a,依据条件有
(a+9)2=(a+3)·(a+21)⇒a=3,
a4=3+3×3=12.故选C.
2.【解析】选B.设公差为d,则(1+d)2=1·(1+4d).
∵d≠0,解得d=2,∴S10=100.
3.【解析】选C.=d2,=4d2,=9d2,
∴==,
由∈Z,结合选项易知q=.
4.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20.
由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=,
所以,最小的一份为a-2d=20-=.
5.【解析】选C.由a1=1,an>0,-=1(n∈N*)可得=n,即an=,要使an<5,则n<25,故选C.
6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“<-1”及“Sn有最大值”如何使用,从而列出关于a1,d的不等式组,求出的取值范围,进而求出访得Sn<0的n的最小值,或者依据等比数列的性质求解.
【解析】选C.方法一:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,
由得-<<-9.
∵Sn=na1+d=n2+(a1-)n,
由Sn=0得n=0或n=1-.
∵19<1-<20,
∴Sn<0的解集为{n∈N*|n>1-},
故使得Sn<0的n的最小值为20.
方法二:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,
由a10>0知S19>0,由a11<0知S21<0,
由a10+a11<0知S20<0,故选C.
7.【解析】选B.由2n<104,得n<≈≈13.29,故数列{2n}在1到104之间的项共有13项,它们的和S1==16382;同理数列{3n}在1到104之间的项共有8项,它们的和S2==9840,
∴|S1-S2|=6542.
8. 【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=≥===b6,由于在等差数列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.
9.【解析】∵y′=nxn-1-(n+1)xn,
∴y′|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,
∴切线方程为y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),
令x=0得y=(n+1)·2n,即an=(n+1)·2n,
∴=2n,∴Sn=2n+1-2.
答案:2n+1-2
10.【解析】设开头纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为an,则an+1=an·,
∴an=a1qn-1=()n,∴()n<,得n≥4.
答案:4
【方法技巧】建模解数列问题
对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最终通过建立的关系求出相关量.
11.【解析】依题意得a+b=1,∴x+y=a+b++=1+≥1+=1+4=5.
当且仅当a=b=时取等号.
答案:5
12.【思路点拨】得出关于an+1,Sn的式子,降低一个角标再得一个关于an,Sn-1的式子,两个式子相减后得出an+1,an的关系,可得数列{an}中,a2,a3,a4,…为等比数列,只要等于上面数列的公比即可.
【解析】由题意得an+1=2Sn+1,
an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),
所以当n≥2时,{an}是等比数列,
要使n≥1时,{an}是等比数列,则只需
==3,从而t=1.
答案:1
13.【解析】(1)依题意有
a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),
由于a1≠0,故2q2+q=0.
又q≠0,从而q=-.
(2)由已知可得a1-a1(-)2=3,
故a1=4,
从而Sn==[1-(-)n].
14.【思路点拨】(1)依据导数,xn的左侧导函数小于0,xn的右侧导函数大于0,求出微小值点.(2)由(1)求出{xn}的前n项和为Sn,再代入sinSn求解.
【解析】(1)f(x)=+sinx,令f′(x)=+cosx=0,得
x=2kπ±(k∈Z),
f′(x)>0⇒2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),
f′(x)<0⇒2kπ+<x<2kπ+(k∈Z),
当x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)取微小值,
xn=2nπ-(n∈N*).
(2)由(1)得:xn=2nπ-,
Sn=x1+x2+x3+…+xn
=2π(1+2+3+…+n)-=n(n+1)π-.
当n=3k(k∈N*)时,sinSn=sin(-2kπ)=0,
当n=3k-1(k∈N*)时,sinSn=sin=,
当n=3k-2(k∈N*)时,sinSn=sin=-.
所以sinSn=
15.【解析】(1)设{an}的公差为d,
由于所以
解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.
(2)由于Sn=,
所以==(-).
故++…+
=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=(1-).
由于n≥1,所以0<≤,于是≤1-<1,
所以≤(1-)<.
即≤++…+<.
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