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课时提升作业(五十六)
几 何 概 型
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.一数学爱好小组利用几何概型的相关学问做试验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5120颗,正方形的内切圆区域有豆4009颗,则他们所测得的圆周率约为(保留三位有效数字) ( )
A.3.13 B.3.14 C.3.15 D.3.16
【解析】选A.依据几何概型的定义有=4 0095 120,
得π≈3.13.
2.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当某人到达路口时观看的是红灯的概率是 ( )
A.15 B.25 C.35 D.45
【解题提示】以时间的长短作为度量,用几何概型求解.
【解析】选B.以时间的长短进行度量,故P=3075=25.
【方法技巧】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.
3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为 ( )
A.4-π2 B.π-22 C.4-π4 D.π-24
【解析】选B.设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个△BOC的面积,即为π-2,则阴影区域的面积为2π-4,所以所求概率为P=2π-44=π-22.
4.任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到其次个正方形,依此类推,这样一共画了4个正方形,如图所示,若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形中的概率是( )
【解析】选C.依题意可知,第四个正方形的边长是第一个正方形边长的倍,所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的倍,由几何概型可知,所投点落在第四个正方形中的概率为.
5.随着科技的进步,微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面.某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用,设计了一个试验:在一个棱长为1cm的正方体的中心放置微量手术专用炸药,而爆炸的威力范围是一个半径为R的球,则爆炸之后形成的碎片全部落在正方体内部的概率为( )
【解析】选A.由题意可知,要使碎片全部落在正方体的内部,则该爆炸的威力范围的半径r不大于正方体的内切球的半径R=.所以该大事的概率P=
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·济南模拟)如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,分别以O,B为圆心,半径为画圆弧,点P在两圆之外的概率为 .
【解析】依题设知所求概率
答案:1-
7.(2021·漳州模拟)设a∈[0,10],则函数g(x)=a-2x在区间(0,+∞)内为增函数
的概率为 .
【解析】若函数g(x)=a-2x在区间(0,+∞)内为增函数,则a-2<0,解得a<2,
又a∈[0,10],所以0≤a<2,
所以函数g(x)=a-2x在区间(0,+∞)内为增函数的概率为210=15.
答案:15
8.已知m∈[1,7],则函数f(x)=-(4m-1)x2+(15m2-2m-7) x+2在实数集R上是增函数的概率为 .
【解析】f′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,
依题意,知f′(x)在R上恒大于或等于0,
所以Δ=4(m2-6m+8)≤0,得2≤m≤4.
又m∈[1,7],所以所求的概率为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2021·厦门模拟)已知集合A={x|-3<x<1},B=x|x+2x-3<0.
(1)在区间(-4,4)上任取一个实数x,求“x∈A∩B”的概率.
(2)设(a,b)为有序实数对,其中a是从集合A中任取的一个整数,b是从集合B中任取的一个整数,求“b-a∈A∪B”的概率.
【解析】(1)由已知B={x|-2<x<3},
A∩B={x|-2<x<1},
设大事“x∈A∩B”的概率为P1,这是一个几何概型,则P1=38.
(2)由于a,b∈Z,且a∈A,b∈B,
所以,基本大事共12个:(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,-1),
(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2).
设大事E为“b-a∈A∪B”,则大事E中包含9个基本大事,
大事E的概率P(E)=912=34.
10.如图所示,圆O的方程为:x2+y2=4.
(1)已知点A的坐标为(2,0),B为圆周上任意一点,求AB的长度小于π的概率.
(2)若P(x,y)为圆O内任意一点,求点P到原点距离大于2的概率.
【解析】(1)圆O的周长为4π,
所以弧AB的长度小于π的概率为2π4π=12.
(2)记大事A为P到原点的距离大于2,则Ω(A)={(x,y)|x2+y2>2},
Ω={(x,y)|x2+y2≤4},
所以P(A)=4π-2π4π=12.
【加固训练】已知向量a=(-2,1),b=(x,y).
(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、其次次毁灭的点数,求满足a·b=-1的概率.
(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.
【解析】(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本大事总数为6×6=36个;由a·b=-1有-2x+y=-1,所以满足a·b=-1的基本大事为(1,1),(2,3),(3,5),共3个,故满足a·b=-1的概率为336=112.
(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本大事的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};满足a·b<0的基本大事的结果为A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};
画出图形如图,
正方形的面积为S正方形=25,阴影部分的面积为S阴影=25-12×2×4=21,故满足a·b<0的概率为2125.
(20分钟 40分)
1.(5分)向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P点,则P点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈的概率为( )
【解析】选A.由题意,易知:(1)点P在以A点为圆心,1为半径的圆外;(2)若点P在以DC为直径的圆上,则∠DPC=,若点P在以DC为直径的圆内,则∠DPC>,故只有点P在以DC为直径的圆外时满足∠DPC为锐角.因此,点P落入图中的阴影部分,故所求概率为.
【方法技巧】解决几何概型的关键
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计算,即当半径确定时,由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
2.(5分)(2021·莆田模拟)在区间[0,π]上随机取一个数x,则大事“sin x+
cos x≤1”发生的概率为( )
【解析】选C.由题意知,此概率符合几何概型,全部基本大事包含的区域长度为π,设A表示取出的x满足sin x+cos x≤1这样的大事,对条件变形为,即大事A包含的区域长度为.所以P(A)=.
3.(5分)在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率为 .
【解析】要使2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax≤2x2+8,即a≤2x+在(0,+∞)上恒成立.又2x+≥2=8,当且仅当x=2时等号成立,故只需a≤8,因此0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为.
答案:
4.(12分)已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M内随机取出一个元素(x,y).
(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率.
(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率.
【解析】(1)集合M内的点形成的区域面积S=8.因圆x2+y2=1的面积S1=π,故所求概率为.
(2)由题意,即-1≤x+y≤1,形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S2=4,所求概率为
5.(13分)(力气挑战题)已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是12.
(1)求n的值.
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,其次次取出的小球标号为b.
(ⅰ)记“a+b=2”为大事A,求大事A的概率;
(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求大事“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.
【解析】(1)依题意nn+2=12,得n=2.
(2)(ⅰ)记标号为0的小球为s,标号为1的小球为t,标号为2的小球为k,h,则取出2个小球的可能状况有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s),
(k,t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共12种,其中满足“a+b=2”的有4种:(s,k),(s,h)(k,s),(h,s).所以所求概率为P(A)=412=13.
(ⅱ)记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为大事B,则大事B等价于“x2+y2>4恒成立”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,
0≤y≤2,x,y∈R},而大事B构成的区域为B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω}.所以所求的概率为P(B)=1-π4.
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