资源描述
1．设x、y为实数，集合A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|16x2＋8x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，问是否存在自然数k，b使(A∪B)∩C＝∅？
解：由于抛物线y2－x－1＝0和16x2＋8x－2y＋5＝0在y轴上的截距分别为±1，，所以取b＝2.
由无实数解，得1－<k<1＋，从而k＝1，
此时方程组无实数解．
故存在k＝1，b＝2满足(A∪B)∩C＝∅.
2. 如图所示，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：如图所示，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，射线OD为y轴的正半轴，以Ox⊥AD的直线为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)，由此可得·＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)设＝λ，λ≠1，则＝λ(0，－3，－4)，＝＋＝＋λ＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，
＝(－4，5，0)．
设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
由，得，
即，可取n1＝(0，1，)．
由，
即，得，
可取n2＝(5，4，－3)．
由n1·n2＝0，得4－3·＝0，
解得λ＝，由于||＝＝5，故AM＝3.
综上所述，存在点M，且AM＝3，使得二面角AMCB为直二面角．
3．(2021·江苏盐城期中考试)设数列{an}的各项均为正实数，bn＝log2an，若数列{bn}满足b2＝0，bn＋1＝bn＋log2p，其中p为正常数，且p≠1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若p＝2，设数列{cn}对任意的n∈N*，都有c1bn＋c2bn－1＋c3bn－2＋…＋cnb1＝－2n成立，问数列{cn}是不是等比数列？若是，恳求出其通项公式；若不是，请说明理由．
解：(1)由于bn＋1＝bn＋log2p，所以bn＋1－bn＝log2p，
所以数列{bn}是以log2p为公差的等差数列，
又b2＝0，所以bn＝b2＋(n－2)(log2p)＝log2pn－2，
故由bn＝log2an，得an＝2bn＝2log2p＝pn－2.
(2)由于p＝2，由(1)得bn＝n－2，
所以c1(n－2)＋c2(n－3)＋c3(n－4)＋…＋cn(－1)
＝－2n，①
则c1(n－1)＋c2(n－2)＋c3(n－3)＋…＋cn＋1(－1)
＝－2(n＋1)，②
由②－①，得c1＋c2＋c3＋…＋cn－cn＋1＝－2，③
所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＋cn＋1－cn＋2＝－2，④
再由④－③，得2cn＋1＝cn＋2，即＝2(n∈N*)，
所以当n≥2时，数列{cn}为等比数列，
又由①式，可得c1＝2，c2＝4，则＝2，
所以数列{cn}确定是等比数列，且cn＝2n.
4．(2021·贵阳市适应性考试) 如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，以PQ为直径的圆是否恒过y轴上某定点M，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意|OB|＝8，据对称性知∠BOy＝30°.
设点B(x，y)，则x＝8×sin 30°＝4，
y＝8×cos 30°＝12，
所以B(4，12)在抛物线上，
所以(4)2＝2p×12，解得p＝2，
抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)设点P(x0，y0)(x0≠0)，由于y＝x2，y′＝x，
直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即y＝x0x－x.
由，得，所以Q(，－1)．
设满足条件的定点M存在，坐标为M(0，y1)，
所以＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，
又由于·＝0，
所以－y0－y0y1＋y1＋y＝0，又y0＝x(x0≠0)，联立解得y1＝1，
故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0，1)．
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