1、1设x、y为实数，集合A(x，y)|y2x10，B(x，y)|16x28x2y50，C(x，y)|ykxb，问是否存在自然数k，b使(AB)C？解：由于抛物线y2x10和16x28x2y50在y轴上的截距分别为1，所以取b2.由无实数解，得1k1，从而k1，此时方程组无实数解故存在k1，b2满足(AB)C.2. 如图所示，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：如图所示，以O
2、为原点，以射线OP为z轴的正半轴，射线OD为y轴的正半轴，以OxAD的直线为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)，(0，3，4)，(8，0，0)，由此可得0，所以，即APBC.(2)设，1，则(0，3，4)，(4，2，4)(0，3，4)(4，23，44)，(4，5，0)设平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)由，得，即，可取n1(0，1，)由，即，得，可取n2(5，4，3)由n1n20，得430，解得，由于|5，故AM3.综上所述，存在点M，且AM3，使
3、得二面角AMCB为直二面角3(2021江苏盐城期中考试)设数列an的各项均为正实数，bnlog2an，若数列bn满足b20，bn1bnlog2p，其中p为正常数，且p1.(1)求数列an的通项公式；(2)若p2，设数列cn对任意的nN*，都有c1bnc2bn1c3bn2cnb12n成立，问数列cn是不是等比数列？若是，恳求出其通项公式；若不是，请说明理由解：(1)由于bn1bnlog2p，所以bn1bnlog2p，所以数列bn是以log2p为公差的等差数列，又b20，所以bnb2(n2)(log2p)log2pn2，故由bnlog2an，得an2bn2log2ppn2.(2)由于p2，由(1)
4、得bnn2，所以c1(n2)c2(n3)c3(n4)cn(1)2n，则c1(n1)c2(n2)c3(n3)cn1(1)2(n1)，由，得c1c2c3cncn12，所以c1c2c3cncn1cn22，再由，得2cn1cn2，即2(nN*)，所以当n2时，数列cn为等比数列，又由式，可得c12，c24，则2，所以数列cn确定是等比数列，且cn2n.4(2021贵阳市适应性考试) 如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上 (1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，以PQ为直径的圆是否恒过y轴上某定点M，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)依题意|OB|8，据对称性知BOy30.设点B(x，y)，则x8sin 304，y8cos 3012，所以B(4，12)在抛物线上，所以(4)22p12，解得p2，抛物线E的方程为x24y.(2)设点P(x0，y0)(x00)，由于yx2，yx，直线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由，得，所以Q(，1)设满足条件的定点M存在，坐标为M(0，y1)，所以(x0，y0y1)，(，1y1)，又由于0，所以y0y0y1y1y0，又y0x(x00)，联立解得y11，故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0，1)
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