2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练4.docx

双基限时练(四)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
解析　由等差中项的性质，知2a5＝a1＋a9，
∴a5＝5.
答案　A
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．7
解析　由a1＋a3＋a5＝3a3＝105，得a3＝35.
又(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝3d＝－6，
得d＝－2，∴a20＝a3＋17d＝35－34＝1.
答案　B
3．{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝2022，则序号n的值为(　　)
A．670 B．672
C．674 D．668
解析　由题意得an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，由3n－2＝2022，n＝672.
答案　B
4．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40等于(　　)
A．40 B．70
C．80 D．90
解析　a10，a20，a30，a40成等差数列，公差为20，∴a40＝a10＋3×20＝90.
答案　D
5．在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝(　　)
A．24 B．22
C．20 D．－8
解析　由a1＋2a8＋a15＝96＝4a8，∴a8＝24.
故2a9－a10＝2(a8＋d)－(a8＋2d)＝a8＝24.
答案　A
6．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)
A. B．±
C．－ D．－
解析　∵{an}为等差数列，∴a1＋a7＋a13＝3a7＝4π.
∴a7＝π，tan(a2＋a12)＝tan2a7＝tanπ＝tanπ＝－.
答案　D
二、填空题
7．在等差数列{an}中，d>0，a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，则an＝________.
解析　由a2＋a5＋a8＝9，知a5＝3.由a3a5a7＝－21，知(3－2d)(3＋2d)＝－7.
得d＝±2，又d>0，∴d＝2.
∴an＝2n－7.
答案　2n－7
8．在等差数列{an}中，a2＝4，a6＝8，则a20＝________.
解析　∵{an}为等差数列，∴a2，a4，a6，a8，…，a20为等差数列，设其公差为d，则a6＝a2＋2d＝4＋2d得d＝2，a20＝a2＋9d＝4＋9×2＝22.
答案　22
9．在等差数列{an}中，(1)若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝350，则a2＋a8＝________；
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，且a4<a2，则an＝________.
解析　(1)由已知得a5＝70，又a2＋a8＝2a5＝140.
(2)由已知得又a4<a2，∴
∴d＝－3，an＝a2＋(n－2)d＝19－3n.
答案　(1)140　(2)19－3n
三、解答题
10．已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列．
证明　∵，，成等差数列，∴＝＋.
∴＝＋.
化简得＋＝.
∴，，成等差数列．
11．已知等差数列{an}的前三项依次为x－1，x＋1,2x＋3，求这个数列的通项公式．
解　∵这个数列的前三项依次为x－1，x＋1,2x＋3，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，得x＝0.
∴该数列的首项为－1，公差d＝1－(－1)＝2，
∴其通项公式an＝a1＋(n－1)d＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
12．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的4个根组成一个首项为的等差数列，求|m－n|.
解　设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d.
而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，方程x2－2x＋n＝0中两根之和也为2.
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4.∴d＝.
∴a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a2＝，a3＝是另一个方程的两个根．
∴，为m或n，∴|m－n|＝.
思 维 探 究
13．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不行能，说明理由．
解　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an，且a1＝1.所以当a2＝－1时，有－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不行能为等差数列，证明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
故a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列冲突．所以，对任意λ，{an}都不行能是等差数列．