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双基限时练(二十六)
一、选择题
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 不等式组表示的平面区域如图所示，当z＝x＋2y过(0,1)时z取得最大值2.
答案 C
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A．6 B．7 C．8 D．23
解析 约束条件表示的平面区域如图，
易知过C(2,1)时，目标函数z＝2x＋3y取得最小值．
所以zmin＝2×2＋3×1＝7.故选B.
答案 B
3．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 可行域如图所示，由图可知，当直线过点A(1,1)时，z最大，最大值为2×1＋1＝3.
答案 C
4．设变量x、y满足约束条件则z＝x－3y的最小值为( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
解析 不等式组表示的区域如图所示，当直线z＝x－3y过A时，z取得最小值，又A(－2,2)，
∴zmin＝－2－6＝－8.
答案 D
5．若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析 如图为约束条件满足的可行域，当目标函数z＝x－2y经过x＋y＝0与x－y－2＝0的交点A(1，－1)时，取到最大值3，故选B.
答案 B
6．已知x，y满足不等式组且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝( )
A．0 B. C. D．1
解析 逐个检验．
答案 B
二、填空题
7．若实数x，y满足则s＝x＋y的最大值为__．
解析 如图所示，作出不等式组的可行域可知，当直线s＝x＋y过点(4,5)时，s取得最大值9.
答案 9
8．设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值是________，最大值是________．
解析 由约束条件画出可行域，如图阴影部分，则z＝x＋2y与x＋2y＝0平行．
经过点(1,0)时，zmin＝1；
过点(3,4)时，zmax＝3＋2×4＝11.
答案 1 11
9．已知变量x，y满足则z＝log2(x－y＋5)的最大值为________．
解析 作出可行域如图
由z＝log2(x－y＋5)，得2z＝x－y＋5，即y＝x＋5－2z，作直线l0：x－y＝0，当直线l0过原点(0,0)时，2z最大，即2z＝5，此时z最大，x＝y＝0时，zmax＝log25.
答案 log25
三、解答题
10．已知实数x、y满足求z＝2x－y的取值范围．
解 满足约束条件的可行域如图所示：
由得A(5,3)．
由得B(－1,3)．
由图可知，当直线z＝2x－y过B时，z取得最小值zmin＝2×(－1)－3＝－5.
当直线z＝2x－y过A时，z取得最大值zmax＝5×2－3＝7.
∴z＝2x－y的取值范围是[－5,7]．
11．设不等式组所表示的平面区域为D，求D中整点的个数．
解
满足约束条件
的可行域如图所示的三角形及其内部，不包括y轴部分，易得A(3,0)，当x＝1时，由y＝－50x＋150＝100，知当x＝1时，可行域内有101个整点，当x＝2时，由y＝－50×2＋150＝50，知当x＝2时，可行域内有51个整点，当x＝3时，y＝－50×3＋150＝0，知当x＝3时可行域内有1个整点，故共有101＋51＋1＝153个整点．
12．已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围．
解 依据约束条件，画出可行域．
∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，目标函数z＝ax＋y(a>0)对应直线的斜率k2＝－a，若符合题意，则须k1>k2.即－>－a，得a>.
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13．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有很多个，则a的值为________．
解析 当a＝0时，z＝x，当且仅当x＝1时，目标函数z＝x＋ay取到最小值1，不符合题意，
当a>0时，由z＝x＋ay得y＝－x＋z，
∵－<0，∴当且仅当－＝kBC时，
目标函数z＝x＋ay取到最大值时的最优解有很多个，也不符合题意．
故a<0.当a<0时，由z＝x＋ay得y＝－x＋z，
∵－<0，∴当且仅当－＝kAC＝，即a＝－3时，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有很多个，其中线段AC上的点都是最优解．
答案 －3
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