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3.2.3 直线的一般式方程
【课时目标】 1．了解二元一次方程与直线的对应关系．2．把握直线方程的一般式．3．依据确定直线位置的几何要素，探究并把握直线方程的几种形式之间的关系．
1．关于x，y的二元一次方程________________(其中A，B________________)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．比较直线方程的五种形式(填空)
形式
方程
局限
各常数的
几何意义
点斜式
不能表示k不存在的直线
(x0，y0)是直线上确定点，k是斜率
斜截式
不能表示k不存在的直线
k是斜率，b是y轴上的截距
两点式
x1≠x2，y1≠y2
(x1，y1)、(x2，y2)是直线上两个定点
截距式
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距
一般式
无
当B≠0时，－是斜率，－是y轴上的截距
一、选择题
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
3．直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为( )
A． B．或0
C．0 D．－2或0
4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )
6．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足( )
A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0
C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝0
二、填空题
7．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为________，化为截距式为________．
8．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是______________．
9．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．
三、解答题
10．依据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．
11．已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行．
力气提升
12．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n的值为( )
A．8 B． C．4 D．11
13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过其次象限，求a的取值范围．
1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，机敏地选用公式，使问题的解答变得简捷．
2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要把握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax＋By＋C＝0化为截距式有两种方法：一是令x＝0，y＝0，求得直线在y轴上的截距B和在x轴上的截距A；二是移常项，得Ax＋By＝－C，两边除以－C(C≠0)，再整理即可．
3．依据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：
①若一个斜率为零，另一个不存在则垂直．若两个都存在斜率，化成斜截式后则k1k2＝－1．
②一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，其次种方法可避开争辩，减小失误．
3．2．3 直线的一般式方程 答案
学问梳理
1．Ax＋By＋C＝0 不同时为0
2．y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b ＝
＋＝1 Ax＋By＋C＝0
作业设计
1．D
2．D [由已知得m2－4≠0，且＝1，
解得：m＝3或m＝2(舍去)．]
3．A
4．A [由题意知，直线l的斜率为－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即3x＋2y－1＝0．]
5．C [将l1与l2的方程化为斜截式得：
y＝ax＋b，y＝bx＋a，
依据斜率和截距的符号可得C．]
6．D [直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形：
(1)截距等于0，此时只要c＝0即可；
(2)截距不等于0，此时c≠0，直线在两坐标轴上的截距分别为－、－．若相等，则有－＝－，即a＝b．
综合(1)(2)可知，若ax＋by＋c＝0 (ab≠0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等，则a＝b或c＝0．]
7．y＝－x－3 ＋＝1
8．m∈R且m≠1
解析 由题意知，2m2＋m－3与m2－m不能同时为0，
由2m2＋m－3≠0得m≠1且m≠－；
由m2－m≠0，得m≠0且m≠1，故m≠1．
9．x－y＋1＝0
解析 AB⊥l1时，AB最短，所以AB斜率为k＝1，
方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．
10．解 (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0．
(2)x＝－3，即x＋3＝0．
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0．
(4)y＝3，即y－3＝0．
(5)由两点式方程得＝，
即2x＋y－3＝0．
(6)由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0．
11．解 当m＝5时，l1：8x＋y－11＝0，l2：7x－8＝0．
明显l1与l2不平行，同理，当m＝－3时，l1与l2也不平行．
当m≠5且m≠－3时，l1∥l2⇔，
∴m＝－2．
∴m为－2时，直线l1与l2平行．
12．B [点(0,2)与点(4,0)关于直线y－1＝2(x－2)对称，则点(7,3)与点(m，n)也关于直线y－1＝2(x－2)对称，
则，解得，
故m＋n＝．]
13．
(1)证明 将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，∴l的斜率为a，
且过定点A(，)．
而点A(，)在第一象限，故l过第一象限．
∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)解 直线OA的斜率为k＝＝3．
∵l不经过其次象限，∴a≥3．
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