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双曲线 教材解读
一、学问精讲
1、正确理解双曲线的定义
一要留意不要将“确定值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要留意“常数”的条件，即常数2a<|F1F2|，由于当2a=|F1F2|时，其轨迹是以F1和F2为端点的两条射线，而当2a> |F1F2|时，其轨迹不存在。
2、精确 把握双曲线的标准方程
（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。
（2）两种双曲线的异同：①相同点：外形、大小相同，都有a>0，b＞0，c=a+b；
②不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
（3）推断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x轴上标准方程中x项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中y项的系数为正。
（4）与椭圆标准方程的不同：
①双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“－”号；
②双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其推断方法不同：对于双曲线和来说，假如x项为正的，则焦点在x轴上；x项的分母是a；假如y项为正的，则焦点在y轴上；y项的分母是a，a不愿定大于b，这和椭圆有明显的不同。
③双曲线有两个顶点，离心率e>1；而椭圆有四个顶点，离心率e<1；椭圆标准方程中a=b+ c，而双曲线中c=a+b。
3、 对双曲线的简洁几何性质的加强理解
（1）双曲线的焦点（两个）总在它的实轴上；椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据。同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当e从接近1渐渐增大时，的值就从接近于0渐渐增大，双曲线的“张口”渐渐增大。
（2）要把握依据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法。
由于y=±x±＝0－＝0，所以把标准方程－＝1（a>0，b＞0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。
（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：
①渐近线方程为mx±ny＝0的双曲线的方程为：mx－ny＝（≠0且为常数）。
②与双曲线－＝1（a>0，b＞0）有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝（≠0且为常数）。
二、方法点拨
1、应用双曲线的定义和标准方程解题时，应留意：（1）动点是否满足双曲线的精确 定义。（2）条件“2a<|F1F2|”是否成立。（3）是否使|PF1|-|PF2|=2a与|PF1|-|PF2|=-2a同时成立。（4）焦点所在坐标轴是否明确。
2、求双曲线标准方程的方法
（1）求双曲线的标准方程包括“定量”和“定位”。要求出双曲线的标准方程，就要求出和 这两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出方程关于和 的方程组。解得和 的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指a、b、c等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，推断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了和 在方程中的位置。
（2）求双曲线方程一般可用待定系数法，其解题方法是先定型，再定量。解题步骤分为：首先推断曲线的类型，其次求出关键数据（即待定系数），最终写出曲线方程。
（3）假如已知渐近线方程y=±x ，双曲线方程可设为，通过求出确定双曲线方程。
三、高考考情分析与应试策略
双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点和热点之一，高考中主要以选择题、填空题为主，其次考查以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，这类问题以解答题为主。高考会从以下几个方面来命题：（1）运用双曲线的定义解决到焦点的距离，焦点弦等有关问题，双曲线的定义仍将是今后考查的重点。（2）机敏运用双曲线的性质，解决离心率、渐近线问题，也是今后考查的重点。有关离心率的问题将会是一个热点。（3）以双曲线为载体的开放题、争辩性问题，将逐步取代繁冗的解答题，成为高考的热点。
在学习中把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质时，要留意数形结合。一是结合图形理解标准方程中的参数 a、b、c、e的几何意义及相互关系；二是结合图形理解双曲线的简洁几何性质。
四、高考热点题型呈现
1、有关基本概念的考查
双曲线的定义及标准方程是双曲线的基础学问，高考中多为基础性题目。
例1．（上海春）若，则“”是“方程表示双曲线”的( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k－3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=－4 是可以的，这不在k>3里．故应当选A．
2、双曲线的几何性质的考查
双曲线的几何性质作为是高考的重点和热点之一，高考中必定考查，有离心率的题目毁灭上升趋势。
例2．(陕西卷)已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
解法1：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，所以 a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．
解法2：生疏两条渐近线的夹角和几何量之间的关系,构建方程有
,选D;
3、双曲线有关的综合问题
以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，是高考考查的重点，也是我们学习中的难点。
例3．（四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点。假如，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。
分析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等学问及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的力气。
解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知， 故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
又由于
依题意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直线的方程为
设，由已知，得
所以，
又，
即点
将点的坐标代入曲线的方程，得
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
所以，点的坐标为
到的距离为
所以的面积
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