2021高中数学-1.5.1--1.5.2--不等式的证明方法(一)-教案-(新人教选修4-5).docx

1.5.1--1.5.2 不等式的证明方法（一） 教案
教学目标：了解证明不等式的最基本的基本方法即比较法、综合法、分析法.
教学重点、难点：分析法
教学过程：
一、情景引入：
不等式历来是高考的重点内容。对于本节来讲，复习有关不等式性质的基础学问、基本方法，而且还考察规律推理力气、分析问题、解决问题的力气。要在思想方法上下功夫。
.要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—推断—结论；为了推断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便推断其正负。
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以生疏、学习，以便于对比争辩两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件动身，依据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开头，倒过来查找缘由，直至缘由成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地动身，逐步查找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
二、精讲精练：
例1、 设a>0，b>0，求证：≥。
分析：当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。
解：左-右=
≥0
∴ 左≥右 即原不等式成立.
点评：⑴做差；变形整理；推断差式的正负，该法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.⑵本题中应留意做差后分组的原则，是以提取公因式从而判定差式的结果是大于零还是小于零为目的.
变式训练1：课本P24练习第7题.
例2：已知
求证：

比较两个真数联想到可用基本不等式来证明.

点评：本题接受接受的是把几个不等式相加（或相乘）的方法，这是综合法证明不等式时常用的变形方法.
变式训练2：课本P27练习第2题.
例3：已知
求证：
分析：本题是一个连锁不等式，也应当用逐步分析的方法分别证明，但要留意隐含条件

点评：本题出题角度比较新颖，力气要求较高，三角形的边角问题一般用正弦、余弦定理进行转化变形，然而本题并没有三角函数，所以想到，再利用求差比较法证明。
变式训练3：课本P27练习第6题.
三、课堂小结
1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.
2. 在不等式证明过程中，应留意与不等式的运算性质联合使用
四、布置作业
课本P31习题1-5第2，3，7题.
课外参考：已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求证：(a+)(b+)≥.
证法一：(分析综合法)
欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，
即证ab≤或ab≥8.
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不行能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.
证法二：(均值代换法)供参考
设a=+t1，b=+t2.
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

明显当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.
证法三：(比较法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤

证法四：(综合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.

证法五：(三角代换法）供参考
∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)
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