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2．5.2 用二分法求方程的近似解
课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能依据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步靠近”的思想．
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)推断是否达到题目要求；否则重复(2)～(4)．
一、填空题
1．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
2．下列图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的是________．(填序号)
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是________．(填序号)
①函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点；
②函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点；
③函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个；
④函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点．
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．
5．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上的零点有____个．
6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则下列各式中正确的是________．(填序号)
①f(x1)<0，f(x2)<0；②f(x1)<0，f(x2)>0；
③f(x1)>0，f(x2)<0；④f(x1)>0，f(x2)>0.
7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，依据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；
⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.70)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确到为0.1)．
二、解答题
10．确定函数f(x)＝x＋x－4的零点所在的区间．
11．设函数g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.
(1)证明：g(x)在区间(－1,0)内有一个零点；
(2)求出函数g(x)在(－1,0)内的零点(精确到0.1)．
力气提升
12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不愿定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为________．
13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发觉这枚假币？
1．函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数；
从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；
若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
2．关于用二分法求函数零点近似值的步骤应留意以下几点：
(1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②f(a)·f(b)的值比较简洁计算且f(a)·f(b)<0.
(2)依据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．
2．5.2 用二分法求方程的近似解
作业设计
1．0.625
解析 由题意知f(x0)＝f()＝f(1.5)，代入解析式易计算得0.625.
2．②③④
解析 由①中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即①中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．
3．④
4．(1.25,1.5)
解析 ∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.
又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．
5．1
解析 f(x)＝(x－1)2(x＋1)＝0，
x1＝1，x2＝－1，
故f(x)在[0,2]上有一个零点．
6．②
解析 ∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－在(1，
＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1<x0，∴f(x1)<f(x0)＝0，
又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.
7．③④⑤
8．[2,2.5)
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
9．0.7
解析 由于0.70与0.6875精确到0.1的近似值都为0.7.
10．解 (答案不唯一)
设y1＝x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
11．(1)证明 g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.
∵g(－1)＝2>0，g(0)＝－3<0，
∴g(x)在区间(－1,0)内有一个零点．
(2)解 g(－0.5)>0，g(0)<0⇒x∈(－0.5,0)；
g(－0.5)>0，g(－0.25)<0⇒x∈(－0.5，－0.25)；
g(－0.5)>0，g(－0.375)<0⇒x∈(－0.5，－0.375)；
g(－0.437 5)>0，g(－0.375)<0
⇒x∈(－0.437 5，－0.375)．
因此，x≈－0.4为所求函数g(x)的零点．
12．0
解析 ∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不愿定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根确定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，
∴④也错误．
13．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，连续称；其次次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚连续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚连续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
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