2020-2021学年北师大版高中数学必修一综合质量评估.docx

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综合质量评估
第一至第四章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2022·济源高一检测)设全集U={x|x<6且x∈N*},集合A={1,3},B={3,5},则
(A∪B)=(　　)
A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5}
【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5}.
所以(A∪B)={2,4}.
【变式训练】若全集U={1,2,3,4}且A={2},则集合A的真子集共有(　　)
A.3个 B.5个 C.7个 D.8个
【解析】选C.由题意知A={1,3,4},故集合A的真子集共有23-1=7(个).
2.(2022·安徽师大附中高一检测)下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是
(　　)
A.f(x)=x2-1x-1和g(x)=x+1
B.f(x)=1和g(x)=x0
C.f(x)=x+1和g(x)=x2+2x+1
D.f(x)=x和g(x)=ln ex
【解析】选D.A,B中两函数的定义域不相同;C中两函数的对应关系不同,只有D表示同一函数.
3.(2022·九江高一检测)函数f(x)=1x-x的图像关于(　　)
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
【解析】选C.由于函数f(x)=1x-x是奇函数,故其图像关于坐标原点对称.
4.(2022·郑州高一检测)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是(　　)
A.f(x)=1x B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)
【解析】选A.由题意知f(x)应为(0,+∞)上的减函数,f(x)=1x在(0,+∞)上是减函数,故选A.
【变式训练】(2021·南康高一检测)已知函数f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且f(-3)<f(1),则下列不等式中确定成立的是
(　　)
A.f(-1)<f(-3) B.f(2)<f(3)
C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1)
【解析】选D.易知f(x)在[-5,0]上是增加的,在(0,5]上是削减的,结合f(x)是偶函数可知选D.
5.(2022·杭州高一检测)设m,n,p均为正数,且3m=log13m,13p=log3p,13q=log13q,则(　　)
A.m>p>q B.p>m>q C.m>q>p D.p>q>m
【解析】选D.如图所示.

由图可知,p>q>m,故选D.
【变式训练】(2022·大连高一检测)设a=log312,b=123,c=312,则(　　)
A.a<b<c　 B.c<b<a　 C.c<a<b　 D.b<a<c
【解析】选A.由于log312<log31=0,123=18∈(0,1),312>30=1,所以a<b<c,故选A.
6.已知ab>0,下面四个等式：
①lg(ab)=lga+lgb;②lgab=lga-lgb;
③12lgab2=lgab;④lg(ab)=1log(a b)10
其中正确的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.当a<0,b<0时,lga,lgb无意义,故①②不正确;由于当ab=1时log(ab)10不存在,故④不正确;结合对数的运算性质可知③正确.故选B.
【误区警示】本题在求解过程中经常忽视lg(ab)=1log(ab)10中ab≠1而错选C.
7.(2022·濮阳高一检测)若函数y=f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根,则f(0)·f(4)的值(　　)
A.大于0 B.小于0
C.等于0 D.无法推断
【解析】选D.如图中的(1),(2),(3)均符合题意,
故f(0)·f(4)的值不确定.

8.(2022·沂州高一检测)衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积与天数t的关系式为：V=a·e-kt,若新丸经过50天后,体积变为49a,则一个新丸体积变为827a,需经过的天数为(　　)
A.125天 B.100天 C.75天 D.50天
【解题指南】先利用“V=a·e-kt”及“新丸经过50天后,体积变为49a”求出e-k的值,然后借助指数幂的运算求一个新丸体积变为827a需经过的天数.
【解析】选C.由于新丸经过50天后,体积变为49a,
所以由V=a·e-kt得49=e-50k,
所以e-k=49150.
所以由827=e-kt得827=49t50,
所以t50=32,所以t=75.
【变式训练】用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选B.设至少要洗x次,则1-34x≤1100,
所以x≥1lg2≈3.322,因此至少要洗4次.
9.(2021·四川高考)函数y=x33x-1的图像大致是(　　)

【解题指南】解决本题的关键是抓住函数的解析式及函数图像的特殊点进行验证求解.
【解析】选C.首先考虑当x<0时,函数值应为正值,所以排解选项B,当x=0时解析式没有意义,故排解选项A,当x无穷大时,考虑指数函数比幂函数增长快,所以函数值越来越小,故选C.
【变式训练】(2021·湖南高考)函数f(x)=2lnx的图像与函数g(x)=x2-4x+5的图像的交点个数为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
【解题指南】本题只要能在同一坐标系中作出这两个函数的图像即可得到答案.
【解析】选B.在同一坐标系中作出f(x)=2lnx和g(x)=x2-4x+5的图像就看出有两个交点.
10.(2022·黄冈高一检测)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是(　　)
A.-94,-2 B.[-1,0]
C.(-∞,-2] D.-94,+∞
【解析】选A.若函数f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则函数y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,即x2-5x+4-m=0在[0,3]上有两个不等实根,
则Δ=(-5)2-4(4-m)>0,02-5×0+4-m≥0,32-5×3+4-m≥0,解得-94<m≤-2.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)
11.函数f(x)=-3x21-3x+lg(2x+3)的定义域为　　　　.
【解析】由1-3x>0,2x+3>0,得-32<x<13.
所以f(x)的定义域为x|-32<x<13.
答案：x|-32<x<13
12.(2022·安庆高一检测)已知f(x)=x-5x2,x≤5,f(x-2),x>5,则f(8)的函数值为　　　　　.
【解析】f(8)=f(8-2)=f(6)=f(6-2)
=f(4)=4-5×42=-76.
答案：-76
13.(2022·吉安高一检测)若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的范围是　　　　　　.
【解析】令y1=ax,y2=x+a,则f(x)=ax-x-a有两个零点,即函数y1=ax与y2=x+a有两个交点.
(1)当a>1时,y1=ax过(0,1)点,而y2=x+a过(0,a)点,而(0,a)点在(0,1)点上方,所以确定有两个交点.
(2)当0<a<1时,(0,a)点在(0,1)点下方,由图像知只有一个交点.

所以a的取值范围为a>1.
答案：(1,+∞)
14.(2022·淮北师范高一检测)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],在(0,5]上是削减的,又f(-3)=0,则不等式xf(x)<0的解集是　　　　.
【解析】由f(x)是奇函数可知f(-3)=-f(3)=0,
即f(3)=0,
又f(0)=0,且在(0,5]上是削减的,故
当x>0时,由xf(x)<0得f(x)<0,
即3<x≤5.
当x<0时,由xf(x)<0得f(x)>0,
即-5≤x<-3.
故所求x的范围为[-5,-3)∪(3,5].
答案：[-5,-3)∪(3,5]
15.(2022·景德镇高一检测)设函数f(x)=bx+c,给出下列四个命题：
①方程f(x)=0有且只有一个实数根;
②当c=0时y=f(x)是奇函数;
③任意x∈R,有f(-x)=2c-f(x);
④方程f(x)=0至多有一个根.
则上述命题中全部正确的序号为　　　　　.
【解析】①④均不正确,如b=c=0时;
②正确,当c=0时,f(x)=bx,
由f(-x)+f(x)=-bx+bx=0可知该命题正确.
③由于f(-x)=-bx+c,f(x)=bx+c,
所以f(-x)+f(x)=2c,
故f(-x)=2c-f(x)对任意x∈R恒成立.
答案：②③
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)(2022·烟台高一检测)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},
C={x|x<a}.
(1)求(A)∩B.
(2)若A⊆C,求a的取值范围.
【解析】(1)由于A={x|3≤x<7},
所以A={x|x<3或x≥7},
由于B={x|2<x<10},
所以(A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.
(2)由于A={x|3≤x<7},C={x|x<a},A⊆C,
所以a需满足a≥7.
17.(12分)(2022·台州高一检测)(1)设x=log23,求22x+2-2x+22x+2-x的值.
(2)计算：log535+2log122-log5150-log514.
【解析】(1)由于x=log23,所以2x=3,2-x=13,
所以原式=32+132+23+13=103.
(2)原式=log535+log550-log514+2log12212
=log535×5014+log122=log553-1=2.
18.(12分)若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)=2x.
(1)求f(x)的表达式.
(2)画出函数f(x)的图像(不必列表).
【解析】(1)由于f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),则f(-x)=2-x.
又f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),则f(x)=-f(-x)=-2-x.
所以f(x)=2x,x∈(0,+∞),0,x=0,-2-x,x∈(-∞,0).
(2)

19.(12分)(2022·临沂高一检测)已知f(x)=loga(1-x)(a>0,a≠1).
(1)求f(x)的定义域.
(2)求使f(x)>0成立的x的取值范围.
【解析】(1)依题意得1-x>0,解得x<1,
故所求定义域为xx<1.
(2)由f(x)>0得loga(1-x)>loga1,
当a>1时,1-x>1即x<0,
当0<a<1时,0<1-x<1即0<x<1,
综上,当a>1时,x的取值范围是x<0,
当0<a<1时,x的取值范围是0<x<1.
20.(13分)(2022·桂林高一检测)对于定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：
①对于任意x∈[0,1],f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值.
(2)问函数g(x)=f(x)-2x-110在12,1上是否有零点?
【解析】(1)由条件③,令x1=x2=0,得f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,
再由条件①,f(0)≥0,所以f(0)=0.
(2)由条件③,令x3=x1+x2,则x2=x3-x1,
得f(x3)≥f(x1)+f(x3-x1),
由于x3>x1,所以1≥x3-x1≥0,
所以f(x3-x1)≥0,所以f(x3)≥f(x1).
所以f(x)在[0,1]上递增,
所以f(x)的最大值是f(1)=1.
又由于若存在1≥ξ≥12,使得f(ξ)>2ξ≥2×12=1,与f(x)的最大值1冲突,
所以f(x)对一切实数x∈12,1,都有f(x)≤2x,
所以f(x)对一切实数x∈12,1,都有f(x)<2x+110,即f(x)-2x-110<0.
所以函数g(x)=f(x) -2x-110在12,1上没有零点.
21.(14分)(2022·汕头高一检测)集合A是由适合以下性质的函数f(x)构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2,都有12f(x1)+f(x2)>
fx1+x22.
(1)试推断f(x)=x2及g(x)=log2x是否在集合A中,并说明理由.
(2)设f(x)∈A且定义域为(0,+∞),值域为(0,1),f(1)>12,试写出一个满足以上条件的函数f(x)的解析式,并赐予证明.
【解析】(1)f(x)∈A,g(x)∉A,
对于f(x)∈A的证明.任意x1,x2∈R且x1≠x2,
f(x1)+f(x2)2-fx1+x22=x12+x222-x1+x222=x12-2x1x2+x224=14(x1-x2)2>0,
即f(x1)+f(x2)2>fx1+x22,
所以f(x)∈A.
对于g(x)∉A,举反例：当x1=1,x2=2时,
g(x1)+g(x2)2=12(log21+log22)=12,
gx1+x22=log21+22=log232>log22=12,
不满足g(x1)+g(x2)2>gx1+x22,
所以g(x)∉A.
(2)函数f(x)=23x(x∈(0,+∞)),
当x∈(0,+∞)时,值域为(0,1)且f(1)=23>12.
任取x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,则
f(x1)+f(x2)2-fx1+x22
=1223x1+23x2-223x1+x22=
1223x122-2·23x12·23x22+23x222
=1223x12-23x222>0.
即f(x1)+f(x2)2>fx1+x22,
所以f(x)=23x(x∈(0,+∞))∈A.
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