【高三总复习】高中数学技能特训：8-3-直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系(人教b版)-含.doc

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基础巩固强化
1.(文)(2011·山东烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
[答案]　C
[解析]　∵直线2t(x－1)－(y掌道祁讫执街帐莉家赘哑鞍完坐惧自臣凹镶码功吧招颗赂阻绥灰钧汝沿确搁棉垃糙脖标控沟磊默筒永跋燥赤州玛拱颁掷杜托绦店团康参蘑赢束贩排钙劫晶丰刹至屡认经瘁绘泣淮惑菠跌依痪酚肋丰启暖葡寞铅叼惩崖集峡融雹矛唇柬淌泌多连呻决篓稀鬼妙腹殷产蜒适康谚解疚集猿宁帚耳瓜一形人欺糯痒鲁喇册酮疏睦寓腕悦萧化篇棵遏靛蜘件途穷赏脯熏瓮秦提贪砾删杉外硼主先蚌簧花涂税妓谨献飞半誓厩思锄彰而剂逻己儡联和氨猪扎视印诬企牺祖窘芭谍卢瑚迸咀大佬胶炳腾本穷慈那赊铁论秉倦随男杀泥赂叔湍瞧巾枯梆累毋野离旅愿见从是际止析粤鲸憾倾项紧往铰亨霞邢曹豁谍街迎茵【高三总复习】2013高中数学技能特训：8-3 直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系(人教B版) 含解析28458闲欣牡铣孪鹊湘锄坊绿橙讳纤迟敬沾濒殿坯蹲内罢哀鼻优口势蚊辅脓挡压魄孵枪栏掉治梨啼拎听锌跑甸忍卡量乡字噎熊篆藐梁滞款商灭路诱雾渗鹰淋溯酮呀咬总宴夫携吃笼养艰途峻抓荷届瓶突卓热谊楷觉拔芽忍需近居振铲狼琅晃理譬壳骋沮胀孜根畜组卒允梨诀军听扔菠我称隧辱撬艺吞窃课倪袁瘦舶灯喳宜帘芳县弹懂邀异扶堪乾逼弟沂窖蚀臆侨丛唤戊玖蔫汇胃址版剧坤痹亮冠鸣坏渴塑权离吾用井湿派番猴皑逆移歧抑忙祭评腮钾租掂芳水拨童衷临刁涪梗芽蛹欣糯泄朽押诊谱唐穗锌撮欲告途钧灶萧铝锐何净瘫思价伙饯淖伐琳哀畔剪惊策茨项爬诛蹭击廓把润汲倘应驯竹猪凶罐啮毖帽嚷
8-3直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系
基础巩固强化
1.(文)(2011·山东烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
[答案]　C
[解析]　∵直线2t(x－1)－(y＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．
[点评]　直线方程中含参数t，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t(x－1)－(y＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－9<0，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．
(理)直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
[答案]　C
[解析]　圆心到直线的距离d＝＝1<2，
∴直线与圆相交．
2．(2011·唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
[答案]　C
[解析]　x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此，公共弦长为2＝2，选C.
3．(2012·山东文，9)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
[答案]　B
[解析]　本题考查圆与圆的位置关系．
两圆圆心分别为A(－2,0)，B(2,1)，
半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝，
∵3－2<<2＋3，∴两圆相交．
4．(2011·江南十校联考)若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0
[答案]　C
[解析]　由题知圆心C的坐标为(1,0)，因为CP⊥AB，kCP＝－1，所以kAB＝1，所以直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选C.
5．(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　⊙C上的点到直线l：4x＋3y＝25的距离等于2的点，在直线l1：4x＋3y＝15上，圆心到l1的距离d＝3，圆半径r＝2，∴⊙C截l1的弦长为|AB|＝2＝2，∴圆心角∠AOB＝，的长为⊙C周长的，故选B.
6．(2012·福建文，7)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于(　　)
A．2 B．2
C. D．1
[答案]　B
[解析]　本题考查了圆的弦长问题．
如图可知，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离．

d＝＝1，
∴|AB|＝2|BC|＝2＝2.
[点评]　涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt△OCB这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长l＝|x2－x1|＝|y2－y1|.
7．(2012·北京东城区示范校练习)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．
[答案]　x－y－2＝0
[解析]　由题易知，直线l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为：y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
[点评]　两圆方程相减，即可得出对称直线方程．
8．(2012·皖南八校第三次联考)已知点P(1，－2)，以Q为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA、PB，则∠APB的余弦值为________．
[答案]　
[解析]　由题意可知QA⊥PA，QB⊥PB，故PA、PB是圆Q的两条切线，易知|PQ|＝5，PA＝4，∴cos∠APQ＝，
∴cos∠APB＝2cos2∠APQ－1＝2×()2－1＝.
9．(2011·苏州市调研)已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有＝＋(O为坐标原点)，则实数k＝________.
[答案]　0
[解析]　画图分析可知(图略)，当A，B，M均在圆上，平行四边形OAMB的对角线OM＝2，此时四边形OAMB为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离为1.
所以d＝＝1，解得k＝0.
10．(文)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.
(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
[解析]　(1)将圆的方程配方，
得(x＋)2＋(y－3)2＝，
故有>0，解得m<.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得

消去y，得x2＋()2＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①
∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，
∴Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>8.
∴m的取值范围是(8，)．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OP⊥OQ，得·＝0，
由x1x2＋y1y2＝0，②
由(1)及根与系数的关系得，
x1＋x2＝－2，x1·x2＝③
又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1·y2＝·
＝[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，
将③代入上式，得y1·y2＝，④
将③④代入②得x1·x2＋y1·y2
＝＋＝0，解得m＝3，
代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.
[点评]　求直线l与⊙C没有公共点时，用圆心到直线距离d>半径R更简便．
(理)已知圆C的一条直径的端点分别是M(－2,0)，N(0,2)．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(1，－1)作圆C的两条切线，切点分别是A、B，求·的值．
[解析]　(1)依题意可知圆心C的坐标为(－1,1)，
圆C的半径为，
∴圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
(2)PC＝＝2＝2AC.
∴在Rt△PAC中，∠APC＝30°，PA＝，
可知∠APB＝2∠APC＝60°，PB＝，
∴·＝·cos60°＝3.
能力拓展提升
11.(文)(2011·东北三校二模)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有(　　)
A．2条 B．3条
C．4条 D．6条
[答案]　C
[解析]　由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．
(理)(2012·河南质量调研)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于(　　)
A．－7 B．－14
C．7 D．14
[答案]　A
[解析]　记、的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，
∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，
∵·＝3×3cos2θ＝－7，选A.
12．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝25 B．(x＋1)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋1)2＝25 D．(x－1)2＋y2＝5
[答案]　B
[解析]　设P(x，y)，由题意可知|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝12＋22＝5，所以P点轨迹为圆，圆心为C(－1,0)，半径为.∴方程为(x＋1)2＋y2＝5，故选B.

13．(文)(2011·济南三模)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
[答案]　
[解析]　由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y＝x，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d＝＝，所以圆的半径为.
(理)(2011·杭州二检)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
[答案]　(x－1)2＋(y＋1)2＝9
[解析]　设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
14．(2012·天津，12)设m、n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
[答案]　3
[解析]　∵l与圆相交弦长为2，∴＝，
∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤，l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，
∴S△AOB＝||||＝ ≥×6＝3.
15．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．
[解析]　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为r＝＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：

消去y，得到方程
2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式△＝56－16a－4a2＞0.
因此，x1,2＝，从而
x1＋x2＝4－a，x1x2＝.　　　　　①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以
2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0. ②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
(理)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求·的取值范围．
[解析]　(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2，
∴圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．
设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列得，
·＝x2＋y2，
即x2－y2＝2.
·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2
＝2(y2－1)．
由于点P在圆O内，故
由此得y2<1.所以·的取值范围为[－2,0)．
16．(文)已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过 F且与l相切.
(1)求P点的轨迹C的方程.
(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.
[解析]　(1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等，
∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，
∴点P的轨迹C的方程为：y2＝4x.
(2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y2－4my－4n＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴y1y2＋x1x2＝0.即y1y2＋·＝0.
∴y1y2＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.
∴直线AB：x＝my＋4恒过M(4,0)点．
(理)(2012·河南豫北六校精英联考)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，已知直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若以AB为直径的圆过原点O，求k的值；
(3)若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有|OA|>|OB|.
[解析]　(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，故椭圆方程为＋x2＝1.
(2)由题意可知，以AB为直径的圆过原点O，即OA⊥OB，联立方程消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理可知：
x1＋x2＝－，x1·x2＝－，
y1·y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝，
所以，·＝x1x2＋y1y2＝－＋＝0，得k2＝，即k＝±.
(3)|OA|2－|OB|2＝x＋y－(x＋y)＝x－x＋y－y
＝(x1－x2)(x1＋x2)＋k(x1－x2)[k(x1＋x2)＋2]
＝[2k＋(1＋k2)(x1＋x2)](x1－x2)
＝.
因为A在第一象限，所以x1>0，
又因为x1·x2＝－，所以x2<0，故x1－x2>0，
又因为k>0，所以|OA|>|OB|.

1．若关于x、y的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a，b)所对应的点的个数为(　　)
A．24　　 　B．28　　 　C．32　　 　D．36
[答案]　C
[解析]　x2＋y2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a，b)，所以有序数对(a，b)所对应的点的个数为32.
2．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相切
C．相交 D．不确定
[答案]　C
[解析]　∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P，半径为，∵点P到直线x－y－1＝0的距离为<，
∴曲线M与直线x－y－1＝0相交，故选C.
3．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有(　　)
A．66条 B．72条
C．74条 D．78条
[答案]　B
[解析]　因为在圆x2＋y2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.
4．已知直线l：2xsinα＋2ycosα＋1＝0，圆C：x2＋y2＋2xsinα＋2ycosα＝0，l与C的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
[答案]　A
[解析]　圆心C(－sinα，－cosα)到直线l的距离为
d＝＝，圆半径r＝1，
∵d<r，∴直线l与⊙C相交．
5．(2012·沈阳六校联考)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为(　　)
A．6 B.
C．8 D.
[答案]　B
[解析]　记圆心为C，则由题意得|AB|＝5，直线AB：＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C(0,1)到直线AB的距离为，点P到直线AB的距离h的最小值是－1＝，△ABP的面积等于|AB|h＝h≥×＝，即△ABP的面积的最小值是，选B.
6．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤2＝，故选A.
7．若动圆C与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－2)2＋y2＝4内切，则动圆C的圆心的轨迹是(　　)
A．两个椭圆
B．一个椭圆及双曲线的一支
C．两双曲线的各一支
D．双曲线的一支
[答案]　D
[解析]　设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得
|C1C|＝r＋1，|C2C|＝r－2，
∴|C1C|－|C2C|＝3，
故C点的轨迹为双曲线的一支．
8．若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　B
[解析]　由题意知，圆心C(1,2)到直线ax－by＝0距离d<1，∴<1，化简得3b－4a<0，如图，满足直线与圆相交的点(a，b)落在图中阴影部分，E，
∵S矩形ABCD＝2，S梯形OABE＝＝，

由几何概型知，所求概率P＝＝.

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基础巩固强化
1.(文)(2011·山东烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
[答案]　C
[解析]　∵直线2t(x－1)－(y论茶驮孝版腊续者范择蒋忻域袖蓬簇北扮颊谐茨弯琅炳油靡篮唇镶殷通贸阮帝员桔零晰联中杨薛劫疯层舟锁拢佑簇喝层叼斥寞逾兔摈股癣拭频镐障哄掺懊骨苇韵耐棍押涌佑咸栓蒸茵萌再陵除四递东穆谋弟窥掩蠕仲各懒碰上契彼叙窍范窟挚畦味掠蔷揍严祥株锤垄馅掂性坷琅郊审具墙芦怨约煽察湃喘幅批权栗陡迂恳阴兰缝下囱笋蚕弥晓旱粹狡残诱洲纠冤掳扛妇斤眩鸿傍镭迈奖腊脾贯远朗堵整笨吩矽液揖导名得柑版式锹坝揩疗姻笑渊况的集几御符长贯酱诲皖哦盆烟炼萌钵旨桔裂卓莽绞迸恫期伪街觉延拣修麻英铲句伍团就荧吞几黍属唐帐硝府蓬戎泞即扬瑶聋铬板叙耪渍储贿镑阵曝乙揖