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双基限时练(二十二)
1．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
解析 如图所示，易知EF∥AC，
又AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，
∴AC∥平面DEF.
答案 A
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析 如图，∵B1D1⊥CC1，B1D1⊥A1C1，
又CC1∩A1C1＝C1，
∴B1D1⊥平面AA1C1C，而CE⊂平面AA1C1C.
∴B1D1⊥CE.又B1D1∥BD，
∴CE⊥BD.
答案 B
3．平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于( )
A．2 B．0
C．1 D．无意义
解析 ∵＝(1,2,1)－(0,1,1)＝(1,1,0)，
＝(－1,0，－1)－(0,1,1)＝(－1，－1，－2)．
又a＝(－1，y，z)为平面ABC的法向量，
∴a⊥，a⊥.
∴a·＝0，a·＝0.
∴∴y＝1，y2＝1.
答案 C
4．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋k D．以上均不能
解析 A、B、C中均不能说明l⊄α，因此应选D.
答案 D
5．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝a，这时二面角B－AD－C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析 由于△ABC是边长为a的正三角形，AD⊥BC，折成二面角B－AD－C后，AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．又BC＝BD＝CD＝a.所以△BCD为正三角形．∴∠BDC＝60°.
答案 C
6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,8)，则直线l与平面α的位置关系是________．
解析 ∵a·n＝(－2)×4＋3×0＋8×1＝0，
∴a⊥n，∴l⊂α，或l∥α.
答案 l⊂α或l∥α
7．若平面α的一个法向量为n＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为a＝(1,1,1)，则l与α所成角的余弦值为________________．
解析 设l与α所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈n，a〉|＝＝＝，
∴cosθ＝＝.
答案
8．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.
解析 建立直角坐标系B－xyz如图所示，依题意得B1(0,0,3a)，D，C(0，a,0)．
设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，
则＝(a，－a，z)，
＝(a,0，z－3a)．
要使CE⊥平面B1DE，即B1E⊥CE，
得·＝2a2－0＋z2－3az＝0.
解得z＝a或2a.
答案 a或2a
9．在正方体AC1中，O，M分别是DB1，D1C1的中点．
证明：OM∥BC1.
证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.
设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，
＝(－1,0,1)，＝(－2,0,2)，
∴＝，∴∥.
又O∉平面B1BCC1，
∴OM∥BC1.
10．在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
证明 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·
＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0.
∴⊥，即A1F⊥C1E.
11.
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.
证明 设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋
＝b＋a，
而＝＋＝a＋b，
∴＝2，故∥.
即EG∥AC.
又＝＋＝＋
＝b－c，
而＝＋＝b－c＝2，
∴∥，即EF∥B1C.
又EG∩EF＝E，AC∩B1C＝C，
∴平面EFG∥平面AB1C.
12.
如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.
证明 因直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2.所以AC⊥BC，
所以AC，BC，C1C两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则
C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，
B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)．
设CB1与C1B的交点为E，连接DE则E(0,2,2)，因＝(－，0,2)，＝(－3,0,4)．
所以＝，所以∥，又DE与AC1不共线，所以DE∥AC1，因DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.
所以AC1∥平面CDB1.
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