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双基限时练(二十七)
一、选择题
1．已知x、y满足z＝x－y，则z的最小值为( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
解析 不等式组表示的平面区域如图所示，则当z＝x－y过P(2,1)点时，zmin＝2－1＝1.
答案 A
2．如图目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OAPB(含边界)，若P(2,2)是该目标函数z＝ax－y的唯一最优解，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，－1) B.
C. D．(1,2)
解析 a表示直线z＝ax－y的斜率，欲使最优解有一个，需：kPA<a<kPB，即－1<a<－.
答案 C
3．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )
A. B．8 C．16 D．10
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
则x2＋y2的最大值为|OA|2，由得A(1,3)，
∴|OA|2＝10.
答案 D
4．假如点P在平面区域上，点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为( )
A. B.－1 C．2－1 D.－1
解析 不等式组表示的区域如图所示的阴影部分．
当Q点取(0，－1)，P点取时，|PQ|min＝.
答案 A
5．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元 C．25万元 D．27万元
解析 设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，则
联立解得
由图可知，最优解为P(3,4)，
∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．故选D.
答案 D
6．若实数x，y满足则z＝的取值范围是( )
A．(－∞，－4]∪
B．(－∞，－2]∪
C.
D.
解析 做出不等式组对应的平面区域OBC，由于z＝，所以z的几何意义是区域内任意一点(x，y)与点P(1，－2)两点连线的斜率，所以由图像可知当直线经过点P，C时，斜率最小，经过点P，B时，直线斜率最大．由题意知B(0,2)，C(4,0)，所以kPB＝＝－4，kPC＝＝，所以z＝的取值范围为z≥或z≤－4，即(－∞，－4]∪，选A.
答案 A
二、填空题
7．x、y满足则S＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值等于________．
解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，x2＋y2＋2x－2y＋2＝(x＋1)2＋(y－1)2，
由(－1,1)到x－y＝0的距离公式d＝＝，知Smin＝2.
答案 2
8．已知z＝2x－y，式中变量x，y满足约束条件则z的最大值为________．
解析 不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝2x－y平移到A(2，－1)时，相应直线在x轴上的截距最大，此时zmax＝2×2－(－1)＝5.
答案 5
9．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析 可行域如图：
由得：A(4,4)，同理，得B(0,2)，
①当k>－时，目标函数z＝kx＋y在x＝4，y＝4时取最大值，即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大，此时，12＝4k＋4，故k＝2.
②当k≤－时，目标函数z＝kx＋y在x＝0，y＝2时取最大值，即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大，
此时，12＝0×k＋2，综上，k＝2.
答案 2
三、解答题
10．设变量x、y满足求z＝的最大值、最小值．
解 不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包括边界)，在z＝中，z是直线y＝zx(不包括原点)的斜率，当直线经过点B(5,2)，即到达直线l1位置时，z取得最小值；当直线经过点C，即到达直线l2位置时，z取得最大值.
11．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)最大值为12，求＋的最小值．
解 做出可行域，由z＝ax＋by得y＝－x＋，由于a>0，b>0，所以直线斜率－<0，直线截距越大，z越大，做出直线y＝－x＋，由图像可知当直线y＝－x＋经过点B时，截距最大，此时z＝12，由得代入直线z＝ax＋by得4a＋6b＝12，即＋＝1.所以＋＝＝＋＋＋≥＋＋2＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，∴＋的最小值为.
12．某企业生产甲、乙两种产品，要用A、B、C三种不同的原料，从工艺知道，每生产1件产品甲需要A、B、C三种原料分别为1,1,0单位，生产1件产品乙需要A、B、C三种原料分别为1,2,1单位，每天原料A、B、C的供应分别为6,8,3单位．又知道每生产1件产品甲，企业利润收入300元，每生产1件产品乙，企业利润收入400元．企业应如何支配方案才能使一天的利润最大？
解 设产品甲的日产量为x件，产品乙的日产量为y件，由已知得
目标函数z＝300x＋400y.
作出可行域如图．
作直线l0：3x＋4y＝0，作l0的一系列平行线，当平行线经过B点时z最大，由得B(4,2)，这时z＝300×4＋400×2＝2000，即当该企业生产4件产品甲、2件产品乙时可取得最大利润2000元．
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13．已知x，y满足条件(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝( )
A．－16 B．－6
C．－ D．6
解析 由z＝x＋3y得y＝－x＋.先作出的图像，由于目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6，选B.
答案 B
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