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双基限时练(十二)
一、选择题
1．正弦定理的适用范围是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
答案 D
2．在△ABC中，下列等式总能成立的是( )
A．acosC＝ccosA B．bsinC＝csinA
C．abcosC＝bcsinB D．asinC＝csinA
解析 由正弦定理可知．
答案 D
3．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45°，则A为( )
A．60°或120° B．60°
C．30°或150° D．30°
解析 由正弦定理＝，得
sinA＝＝，又a>b.故A＝60°或120°.
答案 A
4．在△ABC中，A＝45°，AB＝2，BC＝，则△ABC的解的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．1或2个
解析 由于＝，所以sinC＝＝1.
又C为三角形的内角，故C只有一个解．
答案 B
5．在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4 B．4
C．4 D．16
解析 A＝180°－B－C＝45°，由正弦定理，得
＝，b＝＝＝4.
答案 C
6．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ∵a＝15，b＝10，A＝60°，∴B<60°.
又＝，得sinB＝＝，cosB＝＝.
答案 D
二、填空题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________，△ABC外接圆的半径为________．
解析 由正弦定理＝，得sinA＝＝，
又A为三角形的内角，且a<c，∴A＝.
由正弦定理得＝＝2＝2R，∴△ABC外接圆的半径为1.
答案 1
8．在△ABC中，已知b＋c＝m，B＝α，C＝β，则a＝________.
解析 由正弦定理＝
所以a＝＝.
答案
9．在△ABC中，若＝＝，则△ABC的外形为________．
解析 由＝＝及正弦定理得
tanA＝tanB＝tanC.
又A、B、C为三角形的内角，
得A＝B＝C.
答案 等边三角形
三、解答题
10．在△ABC中，若(b＋c):(c＋a):(a＋b)＝4:5:6，求sinA:sinB:sinC的值．
解 设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，则a＝k，b＝k，c＝k，由正弦定理得sinAsinBsinC＝abc＝753.
11．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，c＝1，求此三角形的最小边．
解 ∵A＝60°，B＝45°，∴C＝180°－60°－45°＝75°.
∴最小边即为b.
由正弦定理＝，得b＝＝＝－1.
12．在△ABC中，A＝45°，a＝2，c＝，解此三角形．
解 由正弦定理＝，得
sinC＝sin45°＝×＝.
∵a<c，∴C＝60°或C＝120°.
若C＝60°，则B＝75°；
若C＝120°，则B＝15°，均符合题意．
当B＝75°时，
由正弦定理＝，得b＝·a＝＋1；
当B＝15°时，
由正弦定理＝，得b＝·a＝－1.
综上，b＝＋1，C＝60°，B＝75°，或b＝－1，C＝120°，B＝15°.
思 维 探 究
13．在△ABC中，已知＝，且2sinA·sinB＝2sin2C，试推断其外形．
解 由正弦定理可得＝＝，
∴b2－a2＝ab，①
又∵2sinAsinB＝2sin2C，
∴由正弦定理得2ab＝2c2.②
由①、②得b2－a2＝c2，得b2＝a2＋c2.
∴该三角形为以B为直角顶点的直角三角形．
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