【2020秋备课】高中数学练习新人教A版必修1-3.2.1-几类不同增长的函数模型.docx

3.2.1几类不同增长的函数模型

1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应当是(　　)．
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
解析　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x增长速度最快．
答案　D
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　)．
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
解析　在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3.
答案　B
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们进展到(　　)．
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析　由x＝1时，y＝100，得a＝100把x＝7代入，得y＝100log28＝300.
答案　A
4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．
解析　由得
∴y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案　1.75万件
5．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a，那么广告效应D＝a－A，当A＝________时，取得最大广告效应，此时收入R＝________.
解析　D＝a－A＝－(－)2＋，
∴当＝，即A＝时，D最大．
此时R＝a＝.
答案　　
6．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，假如不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解　设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为
y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
y1－y2＝4a－4.98a＜0，
因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)．

7．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化状况是(　　)．
A．增加7.84% B．削减7.84%
C．削减9.5% D．不增不减
解析　设该商品原价为a，四年后价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.921 6a，所以(1－0.921 6)a＝0.078 4a＝7.84%a，即比原来削减了7.84%.
答案　B
8．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线在右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的(　　)．

解析　设AB＝a，则y＝a2－x2＝－x2＋a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方，故选C.
答案　C
9．以下是三个变量y1、y2、y3随变量x变化的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中关于x呈指数函数变化的函数是________．
解析　从题表格可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
答案　y1
10．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．
解析　设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，
∴x＝－1.
答案　－1
11．北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，估量这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发觉每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每削减一元则增加销售400枚，而每增加一元则削减销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元．
(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)．
(2)当每枚纪念章销售价格为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值．
解　(1)依题意，
y＝
∴y＝
此函数的定义域为(7,40)．
(2)y＝
若7＜x≤20，则当x＝16时，
ymax＝32 400(元)．
若20＜x＜40，则当x＝时，
ymax＝27 225(元)．
综上可得当每枚纪念章销售价格为16元时，该特许专营店获得的利润最大，为32 400元．
12．(创新拓展)已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，

开头时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－n t，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－n t，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有 L?
解　由题意，得ae－5n＝a－a·e－5n，
即e－5n＝①
设再过t min后桶1中的水有
则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝②
将①式平方得e－10n＝③
比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.
即再过5 min后桶1中的水只有 L.