高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-拓展资料：导数几何意义的应用分类解析.docx

导数几何意义的应用分类解析
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数学问与解析几何学问交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.下面就导数几何意义的应用分类解析.
一、切线的夹角问题
例1已知抛物线y＝x2﹣4与直线y＝x＋2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为l1和l2.(1)求直线l1与l2的夹角.
解析：由方程组，解得A(－2，0)，B(3，5)，
由y¢＝2x，则y¢|x＝－2＝﹣4，y¢|x＝3＝6，设两直线的夹角为θ，
依据两直线的夹角公式，tanθ＝||＝,所以θ＝arctan.
点拨：解答此类问题分两步：第一步依据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；其次步利用两条直线的夹角公式求出结果(留意两条直线的夹角公式有确定值符号).
二、两条曲线的公切线问题
例2已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.假如直线l同时是C1和C2的切线，称直线l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段相互平分.
解析：(1)函数y＝x2＋2x的导数y¢＝2x＋2，曲线C1在点P(x1，x＋2x1)处的切线方程是
y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x…①，
函数y＝－x2＋a的导数y¢＝－2x，曲线C2在点Q(x2，－x＋a)处的切线方程是
y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋x＋a，…②
假如直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是直线l的方程，
所以，消去x2得方程2x＋2x1＋1＋a＝0.
当判别式△＝4－4×2(1＋a)＝0时，即a＝－时，解得x1＝－，此时点P和Q重合，
即当a＝－时，C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y＝x－.
（Ⅱ）证明：略
点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；其次步依据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步依据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.
三、切线逆向运算问题
例3已知b＞－1，c＞0，函数f(x)＝x＋b的图象与函数g(x)＝x2＋bx＋c的图象相切.求b与c的关系式(用c表示b)；
解析：(1)依题意，令f¢(x)＝g¢(x)，得2x＋b＝1，故x＝，
由于f()＝g()，得(b＋1)2＝4c，∵b＞－1，c＞0，∴b＝－1＋c.
例4曲线y＝x3在点（a，a3）(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝__________________.
解析：y′＝3x2，切线斜率为3a2，方程为y－a3＝3a2（x－a），
当y＝0时，x＝a，当x＝a时，y＝a3，则·|a3|·|a－a|＝，解得a＝±1.
点拨：上面两题通过求导，利用导数在某点几何意义求切线斜率的值或相对应的切线方程，建立等式或不等式，进而解决参数问题.
四﹑其它综合问题
例5已知函数f(x)＝x3＋x2，数列{xn}(xn＞0)的第一项xn＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x＝f(x)在（xn+1,f (xn+1)）处的切线与经过（0，0）和（xn,f (xn)）两点的直线平行（如图）求证：当n∈N*时，(Ⅰ)x＋xn＝3x＋2xn＋1；（Ⅱ）()n－1≤xn≤()n-2.
证明：（I）由于f¢(x)＝3x2＋2x所以曲线y＝f(x)在（xn+1,f (xn+1)）处的切线斜率kn+1＝3x＋2xn+1，
由于过(0,0)和（xn,f (xn)）两点的直线斜率是x＋xn，所以x＋xn＝3x＋2xn+1.
（II）由于函数h(x)＝x2＋x当x＞0时单调递增，
而x＋xn＝3x＋2xn+1≤4x＋2xn+1＝(2xn+1)2＋2xn+1，
所以xn≤2xn+1，即≥因此xn＝··…·≥()n-1，
又由于x＋xn≥2(x＋xn+1) ，令yn＝x＋xn，则≤，
由于y1＝x＋x1＝2，所以yn≤()n-1·y1＝()n-2，
因此xn≤x＋xn≤()n-2，故()n-1≤xn≤()n-2..
点拨：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础学问，以及不等式的证明，同时考查规律推理力气.上述解法通过利用利用导数的几何意义求出切线的斜率建立数列递推公式，为其次小题的解答供应了条件.
跟踪练习
1、已知曲线C1:y＝x2－2x＋2和曲线C2:y＝x3－3x2＋x＋5有一个公共点P（2，2），求过点P处两条曲线的切线的夹角.
2、已知函数f(x)＝2x3＋ax，g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公切线，求a，b，c及f(x)，g(x)的表达式.
3、确定抛物线方程y＝x2＋bx＋c中的常数b和c，使得抛物线与直线y＝2x在x＝2处相切.
4、设整数k≠0，1.过点P(1，0)作曲线C：y＝xk(x＞0)的切线，切点为Q1，设点Q1在x轴上的射影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设点Q2在x轴上的射影是点P2，…，这样始终作下去，可得到一系列点Q1，Q2，….设点Qn(n＝1，2，…)的横坐标构成数列{an}.证明{an}是等比数列.

参考答案
1、解：∵y＝x2－2x＋2，∴y¢＝2x－2，∴过点P曲线C1的切线斜率为k1＝2×2－2＝2，
又∵y＝x3－3x2＋x＋5，∴y¢＝3x2－6x＋，∴过点P曲线C1的切线斜率为k2＝3×22－6×2＋＝，
设两直线的夹角为θ，依据两直线的夹角公式，得tanθ＝||＝,所以θ＝arctan.
2、解：f(x)＝2x3＋ax的图象过点P(2，0)，故a＝－8，故f(x)＝2x3－8x，
又 f′(x)＝6x2－8，f′(2)＝16，
由g(x)＝bx2＋c的图象过点P(2，0)，得4b＋c＝0.
又g′(x)＝2bx，g′(2)＝4b＝f′(2)＝16，∴b＝4，从而c＝－16，
∴f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
3、解：＝2x＋b，k＝y′|x=2＝4＋b=2，∴b＝－2.
又当x＝2时，y＝22＋（－2）×2＋c＝c，代入y＝2x，得c＝4.
4、解：∵y′＝kxk–1，∴y¢|x＝an＝kank–1，
∴以Qn(an，ank)为切点的切线方程为y–ank＝kank–1(x–an)，
当n＝1时，切线过点P(1，0)，∴0–a1k＝ka1k–1(1–a1)Þa1＝，
当n≥2时，切线过点Pn–1(an–1，0)，∴0–ank＝kank–1(an–1–an)an＝an–1，
∵整数k≠0，1，∴a1＝≠0，∴{an}是等比数列.