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有关定积分问题的常见题型解析
定积分是高中课程中新增加的内容，对函数进行积分运算这类题目占有格外重要的地位，它能解决很多实际应用问题。在解题时也会毁灭很多问题，下面争辩一下有关定积分的问题的常见题型及留意的一些问题。
题型一 用定义求定积分
例1、用定义求。
分析：利用定义求定积分可分为四步：分割，近似代替，求和，取极限，按步骤求解 。
解：（1）分割[0，1]：。
（2）作和 。（由于x连续，所以可任凭取而不影响极限，故我们此处将取为[x，x]的右端点也无妨。）
（3）取极限
。（此处用到了求和公式
。）
因此＝。
评注：求定积分四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和。体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积。
题型二 利用微积分基本定理求积分
例2、求下列定积分：
（1） （2）
分析：依据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。
解：（1）由于，
所以==。
（2）由于，，
所以 =。
评注：利用微积分基本定理求定积分的关键是找出的函数。通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，即正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系。
题型三 利用定积分求平面图形的面积
例3 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x所围成的图形面积。
分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。
解：由方程组，可得。故所求图形面积为：
S＝－＝（x＋3x）。
评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的确定值之和。
关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。
学问小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：
（1）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=（≥0）围成的曲边梯形的面积：
S＝，如图1。
（2）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=（≤0）围成的曲边梯形的面积：
S＝，如图2。
（3）由两条直线x=a、x=b（a＜b）、两条曲线y=、y=（）围成的平面图形的面积：S＝，如图3。
题型四 解决综合性问题
例4、在曲线（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为。试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程。
分析：设出切点A的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标，使问题解决。
解：如图，
设切点A（），由＝2x，过A点的切线方程为
y－y＝2x（x－x）,即y＝2xx－x。
令y＝0,得x=。即C（，0）。
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S＝S－S。
S＝，
S＝｜BC｜·｜AB｜＝（x－）·x＝x，
即：S＝x－x＝x＝。
所以x=1，从而切点A（1,1）,切线方程为y=2x－1。
评注：本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲线三角形AOC的面积。
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