高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-拓展资料：导数学习需注意的几个关系.docx

导数学习需留意的几个关系
导数是争辩函数的有利工具，是高考的重要内容。在导数的学习中理解好下几个关系，将对导数概念的和本质的把握有极其重要的作用。
1、“过某点”和“在某点处“的关系
例1过点（--1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）
A 2x+y+2=0 B 3x--y+3=0 C x+y+1=0 D x--y+1=0
错解：=2x+1 所以切线的斜率K=故切线方程为即x+y+1=0
点评“在某点处”的切线表明此点是切点，而“过某点”的切线不愿定是切点。这里就忽视了二者的区分。
正解：设切点坐标是，则切线斜率为k=2x0+1
由于切线过点（--1，0）所以即所以
所以切点坐标为（0，1）或(--2,3)故切线方程为x—y+1=0或3x+y—12=0所以应选D
2、的关系
例2 已知f(x)=,求。
错解：由于f(x)=所以f(2)=故=0
点评：是导函数，是函数的一个函数值，所以要求应先求
正解：由于f(x)=，所以故=
3、（）与函数单调性的关系
例3（05年湖北）已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函数=a·b在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围
错解：依定义，

若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设>0
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，
在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数
故t的取值范围是t>5
点评：若>0，则在R上是增函数反之不成立。如在R上单调递增，但≥0所以>0是为增函数的充分不必要条件。若为增函数，则≥0，反之不成立。由于≥0，即>0或=0。当函数在某区间内恒有=0时，为常数，函数不具有单调性。所以，≥0是为增函数的必要不充分条件。一般地，使=0的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如=x+sinx.
正解：依定义，

若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设≥0
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，
在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数
故t的取值范围是t≥5
4、与极值点的关系
例4 已知函数f(x)=x(x—c)2在x=2处有极大值。求c的值。
错解：由题意所以=
由于函数f(x)=x(x—c)2在x=2处有极大值，所以所以c=2或c=6
故c的值为2或6。
点评：是为极值的必要但不充分条件。推断是不是极值点需要检查根两侧 的符号。假如左正右负，那么是函数的一个极大值；假如左负右正，那么是函数的一个微小值；假如符号相同，那么不是函数的极值。
正解：由题意所以==
当即或时函数f(x)=x(x—c)2可能有极值。
当x=2时函数f(x)=x(x—c)2有极大值，所以c>0.故
所以时 >0，当时< 0,当时>0。
所以当时，函数f(x)=x(x—c)2有极大值，所以即c=6.
5、极值与最值的关系
例5 求函数f(x)=sin2x—x在上的最大值和最小值。
错解：=，令，得=0。解得或
当时，<0,所以f(x)在是减函数；当时＞0，所以f(x)是增函数；当时＜0，所以f(x)是减函数。
所以当时，f(x)取最大值；当时，f(x)取最小值。
点评：极值是比较极值点四周函数值得出的，并不意味着它在函数的某个区间上最大（小）。因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的微小（大）值小（大）；而最值是指闭区间上全部函数值的比较，所以极大（小）值不愿定是最大（小）值，最值也不愿定是极值。对闭区间上的连续函数，假如在相应的开区间内可导求上最值可简化过程。即直接将极值点与端点的函数值比较，就可判定最大（或最小）的函数值就是最大（或最小）值。
正解：=，令，得=0。解得或
所以， 又，
所以函数f(x) 在上的最大值和最小值分别为。