高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-拓展资料：变化率与导数问题小结.docx

变化率与导数问题小结
一、求割线的斜率
例1 过曲线上两点和作曲线的割线，求当时割线的斜率．
分析：割线的斜率即为函数从1到的平均变化率．
解：，
割线的斜率为．
当时，设割线的斜率为，
则．
评注：一般地，设曲线是函数的图象，是曲线上的定点，点是上与点邻近的点，有，，，割线的斜率为．
二、求平均速度
例2 自由落体的运动方程班车，计算从3s到3．1s，3．01s，3．001s各段内的平均速度（位移的单位为m）
分析：要求平均速度，就是求的值．
解：设在内的平均速度为，则（s），
（m）．
（m/s）；
同理，得（m/s）；（m/s）．
评注：当的值越小时，其平均速度就越近于一个定值．
三、求瞬时速度
例3 以初速度作竖直上抛运动的物体，秒时的高度为，求物体在时刻处的瞬时速度．
分析：先求出，再求出，当时，的极限即为所求．
解：
，
．
当时，．
物体在时刻处的瞬时速度为．
评注：求瞬时速度的实质就是求位置增量与时间增量比的极限．
四、利用定义求导数
例4 已知，求及在处的导数．
分析：按求导数的步骤求解，但要留意变形的技巧．
解：，
．
．
在处的导数为．
评注：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，在点处的导数是函数的导数在处的函数值，分子有理化是解该类题重要的变形技巧之一．
五、创新应用问题
例5　已知，求适合的x值．
分析：要求x的值，需利用导数的定义求出，然后解方程．
解：由导数公式，易得，，
∵，∴，即，
　　解得或．
评注：本题将求导数与解方程结合起来考查，新颖别致．