高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-知能提升：变化率与导数.docx

变化率与导数——知能提升
导数是微积分的核心概念之一，学好导数必需正确理解变化率、导数的概念以及其几何意义，下面通过例题来对变化率与导数的学问进行归纳梳理，望能对同学有所启迪。
1．变化率问题
例1 求在到之间的平均变化率（）。
分析：本题的自变量在分母中毁灭，因此题目中给出了“”的条件，在一些特殊的状况下，假如题干中未给出这一条件，就需要进行分类争辩。本题只需直接套用公式就可以了。
解析：当自变量从变到时，函数的平均变化率
。
评注：本题运算量相对较大，可对分子运用平方差公式。
2．瞬时速度问题
例2 已知一物体的运动方程为，求此物体在和时的瞬时速度。
分析：要求瞬时速度就是求，本题是分段函数，求解时要依据的取值选取函数的解析式。
解析：当时，，
∴，
∴当时的瞬时速度为6。
当时，，
∴，
∴当时的瞬时速度为6。
评注：在某时刻的速度即瞬时速度，应区分于平均速度。
3．切线问题
例3 已知直线，求曲线上和已知直线垂直的切线方程。
分析：利用斜率之间的关系求解。
解析：∵所求切线与直线垂直，
∴切线的斜率为。
又∵，
∴，∴，
∴，即切点为。
故所求切线方程为，即。
评注：充分利用垂直的条件和导数的几何意义是解决该类问题的关键。
4．倾斜角问题
例4 已知曲线上的一点，则过点的切线的倾斜角为（ ）
．2 ．4 ． ．6
分析：先求出切线的斜率，再确定倾斜角的大小。
解析：∵，
∴
，
∴。
∴点处切线的斜率等于1，故切线的倾斜角为。
∴答案应选
评注：若存在，则其为切线的斜率，切线自然存在，从而倾斜角可求。
5．面积问题
例5 求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积。
分析：由题意知切线与两坐标轴所围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距。
解析：∵，
∴在点处的切线方程为，即。
此切线与轴、轴的交点分别为，，
故所求三角形的面积为。
评注：本题将曲线的切线与求三角形的面积联系在一起，可先作出草图，挂念解题。