高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-拓展资料：例析变化率与导数问题.docx

例析变化率与导数问题导数是微积分的核心概念之一，考虑到同学们初次接触导数的学问，本文对导数的学问点作一归类，供参考。一、函数的平均变化率问题例1 求函数在到之间的平均变化率，并计算当，时平均变化率的值。分析：直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以求得相应的平均变化率。解析：当自变量变化到时，函数的平均变化率为。当，时，平均变化率的值为。评注：解答本题的关键是娴熟把握平均变化率的意义，只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很简洁算出。二、割线的斜率问题例2 过曲线上两点和作曲线的割线，求当时割线的斜率。分析：割线的斜率即为函数从1到的平均变化率。解析：，割线的斜率为。当时，割线的斜率为，则。评注：一般地，设曲线是函数的图象，是曲线上的定点，点是上与点邻近的点，有，割线的斜率为。三、平均速度问题例3 自由落体的运动方程为，计算从到，各段内的平均速度（位置的单位为）。分析：要求平均速度，就是求的值，故求出，即可。解析：设在内的平均速度为，则，。；同理；。评注：当的值越小时，其平均速度就越接近于一个定值。四、瞬时速度问题 例4 某一物体的运动方程为 求此物体在和时的瞬时速度。分析：瞬时速度就是路程对时间的变化率。解析：当时， 。当时， 。物体在和时的瞬时速度分别为6和0。评注：分段函数的瞬时速度问题应考虑“间断点”及“分段”的条件。五、切点坐标问题例5 直线：和曲线：相切，求切点的坐标及的值。 分析：设切点坐标为，依据导数的几何意义，求出切线的斜率后列方程即可。解析：设直线与曲线相切于点，则。由题意知，即，解得或，于是切点的坐标为或。当切点为时，解得；当切点为时，解得（舍去）。故的值为，切点坐标为。评注：利用导数的几何意义求切线方程、斜率等是高考常考内容，一般以中、低档题目毁灭，多为小题。六、切线问题例6 假如曲线的某一条切线与直线平行，求切点坐标与切线方程。分析：利用导数的几何意义求切线方程的步骤：（1）求在处的导数，即为曲线在处的切线的斜率；（2）利用点斜式写出切线方程。解析：切线与直线平行，斜率为3。设切点坐标为，则，又，从而得 切点坐标为。所求切线方程为，即。