高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-拓展资料：例析变化率与导数问题.docx

例析变化率与导数问题
导数是微积分的核心概念之一，考虑到同学们初次接触导数的学问，本文对导数的学问点作一归类，供参考。
一、函数的平均变化率问题
例1 求函数在到之间的平均变化率，并计算当，时平均变化率的值。
分析：直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以求得相应的平均变化率。
解析：当自变量变化到时，函数的平均变化率为
。
当，时，平均变化率的值为。
评注：解答本题的关键是娴熟把握平均变化率的意义，只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很简洁算出。
二、割线的斜率问题
例2 过曲线上两点和作曲线的割线，求当时割线的斜率。
分析：割线的斜率即为函数从1到的平均变化率。
解析：∵，
∴割线的斜率为。
∴当时，割线的斜率为，则
。
评注：一般地，设曲线是函数的图象，是曲线上的定点，点是上与点邻近的点，有，，，割线的斜率为。
三、平均速度问题
例3 自由落体的运动方程为，计算从到，，各段内的平均速度（位置的单位为）。
分析：要求平均速度，就是求的值，故求出，即可。
解析：设在内的平均速度为，则
，
。
∴；
同理；
。
评注：当的值越小时，其平均速度就越接近于一个定值。
四、瞬时速度问题
例4 某一物体的运动方程为 求此物体在和时的瞬时速度。
分析：瞬时速度就是路程对时间的变化率。
解析：当时，，
∴
。
当时，，
∴
。
∴物体在和时的瞬时速度分别为6和0。
评注：分段函数的瞬时速度问题应考虑“间断点”及“分段”的条件。
五、切点坐标问题
例5 直线：和曲线：相切，求切点的坐标及的值。
分析：设切点坐标为，依据导数的几何意义，求出切线的斜率后列方程即可。
解析：设直线与曲线相切于点，则

。
由题意知，即，解得或，
于是切点的坐标为或。
当切点为时，，解得；
当切点为时，，解得（舍去）。
故的值为，切点坐标为。
评注：利用导数的几何意义求切线方程、斜率等是高考常考内容，一般以中、低档题目毁灭，多为小题。
六、切线问题
例6 假如曲线的某一条切线与直线平行，求切点坐标与切线方程。
分析：利用导数的几何意义求切线方程的步骤：（1）求在处的导数，即为曲线在处的切线的斜率；（2）利用点斜式写出切线方程。
解析：∵切线与直线平行，∴斜率为3。
设切点坐标为，则，
又
，
∴，从而得 ∴切点坐标为。
∴所求切线方程为，即。