资源描述
计算导数例析
导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则和复合函数求导法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算，学习时应娴熟把握以下求导法：直接利用法则与公式求导、复合函数求导．在求导过程中应熟记导数公式与运算法则，重点把握复合函数的求导方法.
学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简洁的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。举例说明如下.
例1 求下列函数的导数
（1）； （2）；
（3）； （4）y=tanx。
解 （1）；
（2）
∴
或利用函数的积的求导法则：
（3），
∴
（4），
∴.
例2 求下列函数的导数：
.
分析：从这两个函数的形式结构来看，都是商的形式，假如直接套用商的求导法则，运算量较大，但从形式上看，可以转化为和的形式.
解：（1）
（2）
点评：（1）不加分析，盲目套用公式，会给运算带来不便，甚至错误，如（2）的求导形式较为简洁，用商的求导法则之后，还需通分化简.
（2）先化简，再求导实施求导运算的基本方法，是化难为易、化繁为简的基本原则和策略．
例3 求下列函数的导数
（1）； （2）；
（3）； （4）。
解 （1），
∴
（2）
，
∴
（3），
∴
（4）
∴.
点拨 对于较简洁的函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。
例4 利用导数求和：
（1）；
（2）。
分析 这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
解 （1）当x=1时，
；
当x≠1时，
∵，
两边都是关于x的函数，求导得
即
（2）∵，
两边都是关于x的函数，求导得。
令x=1得
，
即。
例5 假如函数f(x)=ax5－bx3＋c（a≠0）在x=±1时有极值，极大值为4，微小值为0，试求a，b，c的值.
分析 可通过求导确定可疑点，留意利用已知极值点x=±1所确定的相关等式，在推断y′的符号时，必需对a进行分类计论.
解答 y′=5ax4－3bx2，令y′=0，即5ax4－3bx2=0,x2(5ax2－3b)=0，
∵x=±1是极值点，∴ 5a(±1)2－3b=0.
又x2=0，∴ 可疑点为x=0，x=±1.
若a>0，y′=5ax2(x2－1).
当x变化时，y′，y的变化状况如下表：
x
(－∞,－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,＋∞)
y′
＋
0
－
0
－
0
＋
y
↗
极大
↘
无极值
↘
微小
↗
由上表可知，当x=－1时，f(x)有极大值，当x=1时，f(x)有微小值.
若a<0时，同理可知a=－3，b=－5，c=2.
点评 运用待定系数法，从逆向思维动身，实现了问题由已知向未知的转化．在转化过程中，利用了列表，解决了待定系数的问题．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
