高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-拓展资料：导数的创新应用.docx

导数的创新应用
有好多数学问题，利用函数导数求解，可以使得有些数学问题得到简化．下面选解几例．
一、求数列的n项和
例1 已知x≠0，x≠－1，求数列1，2x，3x，…，nx，…的前n项和．
分析：依据题特点，可构造等式1 + x + x+ x+ … + x=，求导即可．
解：当x≠0，x≠－1时，1 + x + x+ x+ … + x=，两边都是关于x的函数，求导得：
1+ 2x + 3x+ …+ nx==．
评注：这样的问题可以通过错位相加(减)求和，但运用导数运算更加简明．
二、求组合数的和
例2 求和：C+ 2C+ 3C+ … + nC．
分析：依据题特点，可构造等式(1 + x)= 1 + Cx + Cx+ Cx+ … + Cx，求导即可．
解：由二项开放式，得：两边求导，得：
n(1 + x)= C+ 2Cx + 3Cx+ … + nCx ．
令上式x = 1，得：C+ 2C+ 3C+ … + nC= n·2．
评注：：利用组合数的性质或构造概率模型都可以求解，但运算量都比求导麻烦．
三、证明不等式
例3 证明：．
分析：构造函数，求导，再用单调性即可解决．
证明：构造，则．
该二次式的判别式，
，
是上的增函数．
，，而，
．
评注：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，考虑三角函数的有界性，用架桥铺路，使问题得解.
四、方程根的问题
例4求证方程xlgx＝1在区间（2，3）有且仅有一个实根.
分析：可构造函数，利用导数法解决．
解：设y＝f(x)＝xlgx－1，∴y′＝lgx＋lge＝lgex ，
当x∈（2，3）时，y′＞0，∴f(x)在（2，3）上为增函数，
又f(2)＝2lg2－1＝lg0.4＜0，f(3)＝3lg3－1＝lg2.7＞0，
∴在（2，3）内xlgx－1＝0有且仅有一个实根.
评注：本题是通过构造函数f(x)＝xlgx－1，利用导数推断函数f(x)在区间(2，3)上的单调性及函数f(x)在两个端点的值的符号进行求解的.一般地，假如函数在区间(a，b)上具有单调性，那么，当f(a)f(b)＜0时，方程f(x)＝0在区间(a，b)有唯一解；当f(a)f(b)＞0时，方程f(x)＝0在区间(a，b)无实数解．