资源描述
§6 平面对量数量积的坐标表示
课时目标 1．把握数量积的坐标表示， 会进行平面对量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示推断两个平面对量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．
1．平面对量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__________________．
即两个向量的数量积等于______________________．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b⇔____________________．
3．平面对量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝__________________．
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝________________________．
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝____________________＝______________________________________________________．
一、选择题
1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B． C．2 D．4
2．平面对量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A． B．2 C．4 D．12
3．已知a，b为平面对量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A． B．－ C． D．－
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A． B．
C． D．
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A． B． C．5 D．25
6．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－ B． C．－ D．
二、填空题
7．已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝_______________________________．
8．若平面对量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________．
9．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为______．
10．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．
三、解答题
11．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c．
12．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
力气提升
13．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的范围是( )
A．(0,1) B．
C．∪(1，) D．(1，)
14．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝
________．
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题供应了完善的理论依据和有力的工具支持．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的力气．
§6 平面对量数量积的坐标表示 答案
学问梳理
1．x1x2＋y1y2 相应坐标乘积的和 2．x1x2＋y1y2＝0
3．(1) (2)
4．
作业设计
1．C [由(2a－b)·b＝0，则2a·b－|b|2＝0，
∴2(n2－1)－(1＋n2)＝0，n2＝3．
∴|a|＝＝2．]
2．B [a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1．
∴|a＋2b|＝＝2．]
3．C [∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，
∴a·b＝－20＋36＝16．
又|a|＝5，|b|＝13，
∴cos〈a，b〉＝＝．]
4．D [设c＝(x，y)，
由(c＋a)∥b有－3(x＋1)－2(y＋2)＝0，①
由c⊥(a＋b)有3x－y＝0，②
联立①②有x＝－，y＝－，则c＝(－，－)．]
5．C [∵|a＋b|＝5，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝5＋2×10＋b2＝(5)2，
∴|b|＝5．]
6．A [由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
又(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－．]
7．1
解析 a－2b＝(1，)，
(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1．
8．(－4,8)
解析 由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b＝－4a＝(－4,8)．
9．
解析 设a、b的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
故a在b方向上的射影为|a|cos θ＝×＝．
10．∪(2，＋∞)
解析 由题意cos α＝＝，
∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，
∴－1<<0，∴
即 即
∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
11．解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10×(2，－1)＝(20，－10)．
12．(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD．
(2)解 ⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝．
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴ 得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16，
||＝2 ，||＝2 ．
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝>0，
∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为．
13．C
[已知＝(1,1)，即A(1,1)如图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即∠AOB1＝∠AOB2＝，此时，∠B1Ox＝－＝，∠B2Ox＝＋＝，
故B1，B2(1，)，又a与b夹角不为零，
故a≠1，由图易知a的范围是∪(1，)．]
14．－2
解析 建立如图所示的直角坐标系，依据题设条件即可知A(0,3)，B(－，0)，M(0,2)，
∴＝(0,1)，
＝(－，－2)．
∴·＝－2．
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