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2.4.2 空间两点的距离公式
【课时目标】 1．把握空间两点间的距离公式．2．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．3．能够用空间两点间距离公式解决简洁的问题．
1．在空间直角坐标系中，给定两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则d(A，B)＝|AB|＝____________________________________________．
特殊地：设点A(x，y，z)，则A点到原点的距离为：
d(O，A)＝|OA|＝______________________．
2．若点P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)，
则|P1P2|＝________________________________________________________________________．
3．若点P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)，
则|P1P2|＝______________．
一、选择题
1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为( )
A． B．25 C．5 D．
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B． C．5 D．2
3．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( )
A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0
C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4
4．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是( )
A．A、B、C三点可以构成直角三角形
B．A、B、C三点可以构成锐角三角形
C．A、B、C三点可以构成钝角三角形
D．A、B、C三点不能构成任何三角形
5．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )
A．19 B．－ C． D．
6．点P(x，y，z)满足＝2，则点P在( )
A．以点(1,1，－1)为球心，以为半径的球面上
B．以点(1,1，－1)为中心，以为棱长的正方体内
C．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上
D．无法确定
二、填空题
7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．
8．已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________．
9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
三、解答题
10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．
力气提升
12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ )．
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．
空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则d(P1，P2)＝，当P1，P2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．
2．4．2 空间两点的距离公式 答案
学问梳理
1．
2．
3．|x1－x2|
作业设计
1．C [|AB|＝＝5．]
2．B [由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝．]
3．B [|AC|＝|BC|⇒(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2．即x＋y＋z＝0．]
4．A [|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝1，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2．故构成直角三角形．]
5．C [∵|AB|＝＝，
∴当x＝－＝时，|AB|最小．]
6．C
7．
8．0或－4
解析 利用中点坐标公式，
则AB中点C，|PC|＝3，
即＝3，解得z＝0或z＝－4．
9．(0，－1,0)
解析 设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，
∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．
10．解 ∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，
∴可设M(x,1－x,0)．
∴|MN|＝
＝≥，
当且仅当x＝1时取等号，
∴当点M坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝．
11．解 由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，
设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，
∴BD＝2，CD＝2，z＝，y＝－1．
∴D(0，－1，)．又∵A(，，0)，
∴|AD|＝＝．
12．解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB、BC、BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB．
∵CM＝BN＝a，
∴CH＝MH＝BG＝GN＝a，
∴以B为原点，以AB、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则
M，
N．
(1)|MN|
＝
＝＝，
(2)由(1)得，当a＝时，|MN|最短，最短为，这时M、N恰好为AC、BF的中点．
13．解 如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，
D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，
∵N为CD1的中点，
∴N．
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN|＝＝．
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