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课时提升作业(三十九)
一、选择题
1.在证明命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的过程：“cos4θ-
sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”中应用了
( )
（A）分析法
（B）综合法
（C）分析法和综合法综合使用
（D）间接证法
2.（2021·广州模拟）用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是
( )
(A)假设a,b,c都是偶数
(B)假设a,b,c都不是偶数
(C)假设a,b,c至多有一个是偶数
(D)假设a,b,c至多有两个是偶数
3.假如a<0,b<0，则必有( )
(A)a3+b3≥ab2+a2b
(B)a3+b3≤ab2+a2b
(C)a3+b3>ab2+a2b
(D)a3+b3<ab2+a2b
4.在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a,b,c应满足的条件是( )
(A)a2<b2+c2 (B)a2=b2+c2
(C)a2>b2+c2 (D)a2≤b2+c2
5.若且αsin α-βsin β>0，则下面结论正确的是( )
(A)α>β (B)α+β>0
(C)α<β (D)α2>β2
6.已知a,b,c都是负数，则三数 ( )
(A)都不大于－2
(B)都不小于－2
(C)至少有一个不大于－2
(D)至少有一个不小于－2
7.（力气挑战题）直线l:y=kx+1(k≠0)，椭圆若直线l被椭圆E所截弦长为d，则下列直线中被椭圆E所截弦长不是d的直线是( )
(A)kx+y+1=0 (B)kx-y-1=0
(C)kx+y-1=0 (D)kx+y=0
二、填空题
8．已知a,b是不相等的正数，则x,y的大小关系是______.
9．假如则a,b应满足的条件是__________．
10.设则P，Q，R的大小挨次是_________.
11．已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*)，且对任意的m,n∈N*都有：
（1）f(m,n+1)=f(m,n)+2.
（2）f(m+1,1)=2f(m,1).
给出以下三个结论：①f(1,5)=9；②f(5,1)=16；③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有____________.
三、解答题
12.已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
13.（2022·福建高考）某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1）sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°.
（2）sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°.
（3）sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°.
（4）sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°.
（5）sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
②依据①的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论.
14.(力气挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点.若f(c)=0，且0<x<c时，f(x)>0.
（1）证明：是函数f(x)的一个零点.
（2）试比较与c的大小.
答案解析
1.【解析】选B.从已知条件动身，推出要证的结论，满足综合法.
2.【解析】选B.至少有一个的否定是一个也没有，即a,b,c都不是偶数.
3.【解析】选B.(a3+b3)-(ab2+a2b)
=(a3-ab2)-(a2b-b3)
=a(a2-b2)-b(a2-b2)
=(a2-b2)(a-b)
=(a-b)2(a+b),
由于a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0,
于是(a3+b3)-(ab2+a2b)≤0,
故a3+b3≤ab2+a2b.
4.【解析】选C.当A为钝角时，cos A<0,
因此于是a2>b2+c2.
5.【思路点拨】构造函数f(x)=xsin x，争辩其奇偶性与单调性，再进行推断.
【解析】选D.设函数f(x)=xsin x，明显f(x)是偶函数，且在上，f′(x)=
sin x+xcos x>0，即f(x)在上递增，由已知可得f(α)>f(β)，亦即
f(|α|)>f(|β|)，因此|α|>|β|，故α2>β2.
6.【解析】选C.假设三个数都大于-2,
即则得到
而a,b,c都是负数，
所以
这与冲突，因此三个数中至少有一个不大于-2.
【方法技巧】适用反证法证明的四类数学命题
（1）结论本身是以否定形式毁灭的一类命题.
（2）关于唯一性、存在性的命题.
（3）结论以“至多”“至少”等形式毁灭的命题.
（4）结论的反面比原结论更具体、更简洁争辩的命题.
【变式备选】设实数a,b,c满足a+b+c=1，则实数a,b,c中至少有一个不小于_____.
【解析】假设a,b,c都小于
则a+b+c<1，这与a+b+c=1冲突，因此实数a,b,c中至少有一个不小于
答案：
7.【思路点拨】先求直线l的斜率以及所经过的定点，再结合椭圆的对称性进行分析推断.
【解析】 选D.直线y=kx+1经过定点(0,1)，斜率为k，由椭圆的对称性知，经过定点(0,1)，斜率为-k的直线kx+y-1=0被椭圆截得的弦长也是d，经过定点(0,-1)，斜率为±k的直线kx+y+1=0和kx-y-1=0被椭圆截得的弦长也是d.
8．【解析】由于
由题知
所以x2＜y2，故x＜y.
答案：x＜y
9．【解析】
答案：a≥0,b≥0且a≠b
10.【解析】∵
而
故即P>R>Q.
答案：P>R>Q
11．【解析】在（1）式中令m=1可得
f(1,n+1)=f(1,n)+2,
则f(1,5)=f(1,4)+2=…=9;
在（2）式中，由f(m+1,1)=2f(m,1)得，
f(5,1)=2f(4,1)=…=16f(1,1)=16,
从而f(5,6)=f(5,1)+10=26，故①②③均正确.
答案：①②③
12.【证明】假设a,b,c,d都是非负数，由于a+b=c+d=1,
所以a,b,c,d∈［0,1］,
所以
所以
这与已知ac+bd>1相冲突，所以原假设不成立，即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.
13.【解析】①选择（2）式计算如下sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°
②三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+
sin30°sin α)
14.【解析】（1）∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2.
∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根.
又
∴是f(x)=0的一个根,
即是函数f(x)的一个零点.
（2）假设<c,
∵>0,由0<x<c时，f(x)>0,
知f()＞0，这与f()=0冲突，∴≥c.
又∵≠c,∴>c.
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