高中数学(北师大版)选修2-2教案：第3章-拓展资料：导数中的思想方法.docx

导数中的思想方法
在《导数》一章里，隐含着很多数学思想方法，思想是从数学内容中提炼出来的数学学问的精髓，是将学问转化为力气的桥梁，也是解决问题的思维策略，有着广泛的应用．所以挖掘和总结出这些数学思想方法，对我们巩固《导数》有很大的挂念。下面就《导数》一章里的数学思想方法总结如下：
一、方程思想与待定系数法
方程思想在《导数》中处处可见，与它同时毁灭的是待定系数法。在确定函数的表达式或求函数表达式的系数等方面都可以依据方程的思想，通过待定系数法来实现.
【例1】 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（1）争辩f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是微小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.
剖析：（1）分析x=±1处的极值状况，关键是分析x=±1左右（x）的符号.
（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.
解：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依题意，（1）=（－1）=0，即
解得a=1，b=0.
∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.
令（x）=0，得x=－1，x=1.
若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则（x）＞0，
故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数.
若x∈（－1，1），则（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.
所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是微小值.
（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x.
∵（x0）=3x02－3，∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.
代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.
解得x0=－2，∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.
评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.
二、转化思想
等价转化是把未知解的问题转化到在已有学问范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不生疏、不规范、简洁的问题转化为生疏，在《导数》一章里,等价转化思想无处不在，我们要不断培育和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变力气，提高思维力气和技能、技巧。
例2（2009辽宁文科）设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。求a的值，并争辩f（x）的单调性；
证明：当
解：（Ⅰ）.有条件知，
，故.
于是.
故当时，＜0；
当时，＞0.
从而在，单调削减，在单调增加.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，
最小值为.
从而对任意，，有.
而当时，.从而
点评：本题考查了导数的应用以及导数推断函数的单调性，其中其次问中证明时利用了转化思想，转化为差的确定值小于最大值减去最小值。也就是不等式证明中常见的放缩法。
三、数形结合思想
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
例3、已知函数，，其中
是f（x）的导函数.
（1）对满足的一切a的值，都有，求实数x的其中范围
（2）设，当实数m在什么范围内变化时，函数y＝f（x）的图象与直线y＝3只有一个公共点。
解：（1）由题意令，.
对，恒有，即有，所以即 解得
故时，对满足的一切a的值，都有.
（2），①当m＝0时，的图象与直线y＝3只有一个公共点②当时，列表：
x

＋
0
－
0
＋

极大

微小

又由于f（x）的值域是R，且在上单调递增，所以当时，函数y＝f（x）的图象与直线y＝3只有一个公共点。
当时，恒有 由题意得，，即
解得
综上m的取值范围是
点评：利用导数确定函数的极值点，结合图象较简洁得出关于参数的不等式，从而求出参数范围。解决本题其次问通过“以形助数，以数解形”，把交点个数转化为两个图象的交点问题，使简洁问题简洁化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路。降低了问题的难度。
四、分类争辩思想
分类争辩是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．分类争辩必需赐予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系学问与力气中的作用，从而提高简化计算力气．
例4：设，争辩定义在的函数的单调性.
解：
（1）若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.
（2）若时，则
（ⅰ）若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
（ⅱ）若，则当时，，单调递减.；当时，，单调递增
（ⅲ）若，则当时， ，单调递减； 当时，，单调递增；当时，，单调递减.
点评：本题重点考查通过求导争辩函数的单调性，本题主要数学思想是分类争辩，争辩依据是包含二层：一是对求导后的二次项的系数争辩；二是对两根大小进行争辩。分类要做到不重不漏，层次分明。
五、构造法
在解题时，我们经常会接受这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造挂念元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法.
例5、已知函数，对于f（x）定义域内任意的x，恒成立，求a的取值范围。
解：函数f（x）的定义域为，由对任意恒成立，知对一切恒成立，即对恒成立。
设，则，由，解得
当时，解得，时，
所以h（x）在上递增，在上递减，故h（x）的最大值为
，所以
点评：不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分别后可以转化为（或）恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。“构造”是一种重要而机敏的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行规律组合．