资源描述
2.2.2 函数的奇偶性
课时目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.把握推断函数奇偶性的方法；3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．
1．函数奇偶性的概念
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.
(1)假如对于任意的x∈A，都有__________，那么称函数y＝f(x)是偶函数；
(2)假如对于任意的x∈A，都有__________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于______对称．
(2)奇函数的图象关于______对称．
一、填空题
1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是________函数(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)．
2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________．(填序号)
①f(－x)＋f(x)＝0； ②f(－x)－f(x)＝－2f(x)；
③f(x)·f(－x)≤0； ④＝－1.
3．下面四个结论：①偶函数的图象确定与y轴相交；②奇函数的图象确定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．
其中正确的命题个数是________．
4．函数f(x)＝－x的图象关于________．(填序号)
①y轴对称；②直线y＝－x对称；③坐标原点对称；
④直线y＝x对称．
5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝____________________________.
6．若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法正确的是________．(填序号)
①y＝f(x)图象关于直线x＝1对称；
②y＝f(x＋1)图象关于y轴对称；
③必有f(1＋x)＝f(－1－x)成立；
④必有f(1＋x)＝f(1－x)成立．
7．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝_____________________________.
8．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.
二、解答题
10．推断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
11．已知奇函数f(x)＝.
(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
力气提升
12．y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是____________________．
13．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)推断f(x)的奇偶性．
1．函数奇偶性
(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域确定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．
(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(3)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．
2．函数的奇偶性与图象的对称性的关系
(1)若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之，若一个函数图象关于原点中心对称，则其确定是奇函数．
(2)若一个函数是偶函数，则其图象关于y轴对称，反之，若一个函数图象关于y轴成轴对称，则其必为偶函数．
第3课时 奇偶性的概念
学问梳理
1．(1)f(－x)＝f(x) (2)f(－x)＝－f(x) 2.(1)y轴 (2)原点
作业设计
1．偶
解析 ∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
且x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
2．④
解析 由于f(－x)＝－f(x)，所以①、②明显正确，
由于f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故③正确．
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故④错误．
3．1
解析 函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故①错；
函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；
函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．
4．③
解析 ∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，
∴该函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．
5．－1
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
即(－1＋1)(－1＋a)＝2(1＋a)，
∴a＝－1.
6．①②④
解析 由题意，y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，故②正确；y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得函数y＝f(x)的图象，故①正确；可令g(x)＝f(x＋1)，由题意g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，故④正确．
7．2
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.
8．(－2,0)∪(2,5]
解析 由题意知，函数f(x)在[－5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称．画出f(x)在[－5,0]上的图象，观看可得答案．
9．0
解析 ∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)
＝－f(1)＝－4，
∴f[f(7)]＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0＋4)＝－f(0)＝0.
10．解 (1)f(－x)＝3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7
＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|
＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时f(x)＝x2－1，
此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
11．解 (1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)
＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示
(2)由(1)知f(x)
＝，
由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需，
解得1<a≤3.
12．f()<f(1)<f()
解析 因y＝f(x＋2)是偶函数，f(x＋2)的图象向右平移2个单位即得f(x)的图象．所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因f(x)在(0,2)上是增函数，所以f(x)在(2,4)上是减函数，
且f(1)＝f(3)，由于>3>，
∴f()<f(3)<f()，即f()<f(1)<f()．
13．解 (1)令a＝b＝0，f(0)＝0＋0＝0；
令a＝b＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数．
由于f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1)，
而0＝f(1)＝f((－1)×(－1))＝－f(－1)－f(－1)，
∴f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
即f(x)为奇函数．
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