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双基限时练(七) 正弦函数的性质与图像
一、选择题
1．以下对正弦函数y＝sinx的图像描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图像外形相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析 由正弦函数的图像知A、B、D正确．
答案 C
2．M和m分别是函数y＝sinx－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A. B．－
C．－ D．－2
解析 ∵M＝ymax＝－1＝－，
m＝ymin＝－－1＝－，
∴M＋m＝－－＝－2.
答案 D
3．函数y＝4sinx＋3在[－π，π]上的递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析 y＝sinx的增区间就是y＝4sinx＋3的增区间．
答案 B
4．在[0,2π]内，使sinx≥成立的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由y＝sinx的图像可知答案为B.
答案 B
5．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图像与y＝交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 如右图，y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图像与y＝的图像有两个交点．
答案 C
6．函数y＝sin的图像关于( )
A．原点对称 B．y轴对称
C.直线x＝－对称 D．直线x＝对称
解析 当x＝时，y＝1，故y＝sin的图像关于直线x＝对称．
答案 D
7．满足sin≥的α的集合为( )
A.
B.
C.
D.∪
解析 设t＝α－，则sint≥，如图，设直线y＝与单位圆交于A、B两点，由三角函数线的定义知阴影部分即为t的取值范围，所以2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ＋≤α－≤2kπ＋(k∈Z)，所以2kπ＋≤α≤2kπ＋(k∈Z)．
答案 A
二、填空题
8．用不等号填空
sinπ________sinπ；sin137°________cos312°；sinπ________cos3.
解析 sinπ＝sin，又sin<sinπ，
∴sinπ<sinπ.
∵sin137°＝sin43°，cos312°＝sin42°
又sin43°>sin42°，∴sin137°>cos312°.
由sinπ＝0，cos3<0.故sinπ>cos3.
答案 < > >
9．下列说法正确的是________(只填序号)．
①y＝|sinx|的定义域为R；
②y＝3sinx＋1的最小值为1；
③y＝－sinx为奇函数；
④y＝sinx－1的单调递增区间为(k∈R)．
解析 对于②，y＝3sinx＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于④，y＝sinx－1的单调递增区间为，k∈Z.故②④错，选①③.
答案 ①③
10．函数y＝＋sinx－sin2x的最大值为________，此时x的值为________．
解析 设sinx＝t，t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋t＋＝－2＋2，
∴当t＝，即sinx＝，x＝2kπ＋，
或x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝2.
答案 2 2kπ＋，或2kπ＋π(k∈Z)
三、解答题
11．求函数y＝的定义域．
解 为使函数有意义，需满足即由正弦函数或单位圆，如图(1)、(2)所示．
所以原函数的定义域为{x|2kπ<x≤2kπ＋，k∈Z}∪{x|2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z}．
12．已知f(x)＝cos，
(1)试写出f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在上单调递减，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)＝cos＝－sinx
∴f(x)在(k∈Z)上单调递减，在
(k∈Z)上单调递增．
(2)∵f(x)在上单调递减，
∴⊆，
即－<a≤.
∴a的取值范围是.
13．用五点法作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]上的简图，并回答下列问题：
(1)观看函数的图像，写出满足下列条件的x的区间：①y>1，②y<1；
(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sinx的最大值、最小值及相应的自变量的值．
解 按五个关键点列表
x
－π
－
0
π
sinx
0
－1
0
1
0
1－2sinx
1
3
1
－1
1
描点连线得简图如下：
(1)由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，
∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点时，1<a<3，或－1<a<1，
∴a的取值范围是{a|1<a<3，或－1<a<1}．
(3)由图像可知ymax＝3，此时x＝－；
ymin＝－1，此时x＝.
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