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双基限时练(二十二) 平面对量数量积的坐标表示
一、选择题
1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析 ∵a－b＝，∴(a－b)·b＝＝－＝0，故(a－b)⊥b.
答案 C
2．已知a＝(4,3)，向量b是垂直于a的单位向量，则b等于( )
A.或
B.或
C.或
D.或
解析 设b＝(x，y)，则x2＋y2＝1，且4x＋3y＝0，
解得或故选D.
答案 D
3．直线y＝2与直线x＋y－2＝0的夹角是( )
A. B.
C. D.
解析 任取直线y＝2的一个方向向量(1,0)，直线x＋y－2＝0的方向向量为(1，－1)，设两直线的夹角为θ，则cosθ＝＝，又θ∈，所以θ＝.
答案 A
4．平面对量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2
C．4 D．12
解析 由已知|a|＝2，∵|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12.
∴|a＋2b|＝2.
答案 B
5．已知向量a＝(－2，－1)，a·b＝10，|a－b|＝，则|b|＝( )
A．2 B．2
C．20 D．40
解析 设b＝(x，y)，由a＝(－2，－1)，a·b＝10，可得－2x－y＝10.①a－b＝(－2－x，－1－y)，所以|a－b|＝＝.② 由①②可得x＝－4，y＝－2，所以b＝(－4，－2)，|b|＝＝2.
答案 A
6．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，则n·＝( )
A．－2 B．2
C．－2或2 D．0
解析 ∵＋＝，∴n·(＋)＝n·，
即n·＋n·＝n·.
∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
答案 B
7．a＝(0,1)，b＝(1,1)，且(a＋λb)⊥a，则λ＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析 (a＋λb)·a＝0，a2＋λa·b＝0，λ＝－＝－＝－1.
答案 A
二、填空题
8．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为________．
解析 由题意得a·b＝|a||b|cosa，b＝13，∴|a|·cosa，b＝＝.
答案
9．平面对量a，b中，已知a＝(4,3)，|b|＝1，且a·b＝5，则b＝________.
解析 设b＝(x，y)，由题意得得
答案
10．已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，a和c的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析 ∵c＝a＋λb＝(1＋λ，3＋λ)，
由(a＋λb)·a＝1＋λ＋3(3＋λ)>0，得λ>－，
当a＋λb＝ka(k>0)时，得λ＝0，
故λ的取值范围是λ>－且λ≠0.
答案 ∪(0，＋∞)
三、解答题
11．已知a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a与b共线，求|a－b|.
解 (1)由a⊥b，得(2x＋3)－x2＝0，得
x2－2x－3＝0，得x＝－1，或x＝3.
(2)由a∥b，得－x＝x(2x＋3)，
2x2＋4x＝0得x＝0，或x＝－2，
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，|a－b|＝2，
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝＝＝2.
12．已知点A(1,2)，B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，若能，恳求出点C的坐标；若不能，请说明理由．
解 假设在y轴上存在点C(0，y)，使∠ACB＝90°.
由A(1,2)，B(4，－1)，得＝(－1，y－2)，＝(－4，y＋1)．
又由⊥，得·＝0，即(－1)×(－4)＋(y－2)×(y＋1)＝0，即y2－y＋2＝0.∵Δ＝(－1)2－4×2＝－7<0，∴此方程无解．故在y轴上不存在点C，使∠ACB＝90°.
13．已知平面xOy内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点X为直线OP上的一个动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点X满足(1)的条件时，求cos∠AXB的值．
解 (1)设＝(x，y)，
∵点X在直线OP上，
∴向量，共线，
又＝(2,1)，可以求得x＝2y.
∴·＝(－)·(－)
＝(1－2y,7－y)·(5－2y,1－y)
＝5y2－20y＋12
＝5(y－2)2－8.
∴当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴||＝，||＝.
∴cos∠AXB＝＝－.
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