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双基限时练(二十二)
一、选择题
1．直线3x＋y－5＝0与x＋y－1＝0的交点是( )
A．(2，－1) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－2，－1)
解析 由得
答案 A
2．若(－1，－2)为直线ax＋3y＋8＝0与x－by＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．2， B.，2
C．－2，－ D．－2，
解析 ∵(－1，－2)为两条直线的交点，
∴得
答案 A
3．若直线x＋y＋3m＋2＝0与x－y－5m＋6＝0的交点在第三象限，则m的取值范围是( )
A.<m<4 B．－4<m<－
C．m>4 D．m<
解析 由得
由得<m<4.
答案 A
4．已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是( )
A．(1，－3) B．(3，－1)
C．(－3,1) D．(－1,3)
解析 由得由三条直线相交于一点，可知m×1＋n×2＋5＝0
即m＋2n＋5＝0，结合选项可知A项正确．
答案 A
5．已知直线l1：2x＋y－10＝0，l2⊥l1，且l2过(－10,0)，则l1与l2的交点坐标为( )
A．(6,2) B．(2，－6)
C．(－6,2) D．(2,6)
解析 ∵kl1＝－2，l2⊥l1，∴kl2＝.
又l2过(－10,0)，∴l2：x－2y＋10＝0.
由得
答案 D
6．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－5－4k＝0都过一个定点，则这个定点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(3,1) D．(3，－1)
解析 原直线可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，由得
∴交点(3，－1)．
答案 D
二、填空题
7．直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点坐标为________．
解析 由得
答案 (－1,2)
8．经过直线x＋y－1＝0和x－y＋1＝0的交点，且与3x＋2y＋6＝0垂直的直线方程为________．
解析 所求的直线方程为x＋y－1＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋1)x－(λ－1)y＋λ－1＝0，k＝，由k·＝－1，则＝，得λ＝－5，故所求的直线方程为－4x＋6y－6＝0，即2x－3y＋3＝0.
答案 2x－3y＋3＝0
9．已知l1：x－y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，l3：x＋my－5＝0，若l1，l2，l3只有两个交点，则m＝________.
解析 ∵l1与l2相交，故只需l1∥l3，或l2∥l3即可，得m＝－1，或m＝－.
答案 －1或－
三、解答题
10．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．
解 设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0
由题意，得＝±1，解得λ＝－1，或λ＝－.
∴所求的直线方程为x－y－4＝0，或x＋y－24＝0.
11．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，求a的值．
解 解方程组得所以交点坐标为(4，－2)．代入直线方程ax＋2y＋8＝0，得a×4＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1.
12．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋(2－a)＝0(a∈R)．
(1)证明直线l恒过定点；
(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
解 (1)证明：直线l的方程可化为(x－1)a＋x＋y＋2＝0(a∈R)
令得
∴无论a为任何实数，直线l总经过定点(1，－3)．
(2)∵直线l在两坐标轴上截距相等，l的方程为
(a＋1)x＋y＋2－a＝0，∴l的两截距肯定存在，
∴a≠－1，令y＝0，x＝，令x＝0，y＝a－2，
由＝a－2，得a＝2，或a＝0.
∴所求直线l的方程为3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0.
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13．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．
解 设所求的直线方程为2x＋y－8＋λ(x－2y＋1)＝0即：(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋λ－8＝0，由题意得2＋λ≠0且1－2λ≠0.
令x>0，得y＝；令y＝0，得x＝.
由题意得2·＝，得λ＝8或λ＝－.
当λ＝8时，直线方程为10x－15y＝0，即2x－3y＝0；
当λ＝－时，直线方程为：x＋y－＝0，即x＋2y－7＝0.
∴所求的直线方程为2x－3y＝0或x＋2y－7＝0.
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