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3.1.2 空间向量的基本定理
课时目标 1.利用空间向量的数乘运算，理解共线向量、共面对量的意义，把握它们的表示方法.2.理解共线向量定理、共面对量定理和空间向量分解定理，能运用它们解决一些几何问题．
1．共线向量定理
两个空间向量a，b(__________)，a∥b的充要条件是______________________，使____________．
2．向量共面的条件
(1)向量a平行于平面α的定义
已知向量a，作＝a，假如a的基线OA__________________________，则就说向量a平行于平面α，记作__________．
(2)共面对量的定义
平行于______________的向量，叫做共面对量．
(3)共面对量定理
假如两个向量a，b__________，则向量c与向量a，b共面的充要条件是____________，使________________．
3．空间向量分解定理
(1)空间向量分解定理
假如三个向量a，b，c__________，那么对空间任一向量p，________，使__________．
(2)基底
假如三个向量a，b，c是三个________________，则a，b，c的线性组合____________能生成全部的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个________，记作__________，其中a，b，c都叫做__________．表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的__________．
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A. ＋＝ B. －＝
C. ＝ D.||＝||
3.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，则=x＋y＋z，则( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
4．在下列条件中，使M与A、B、C确定共面的是( )
A. ＝2－－
B. ＝＋＋
C. ＋＋＝0
D. ＋＋＋＝0
5.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面对量 D．不共面对量
6．下列命题中是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面对量
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量,，满足||>||，且与同向，则>
D.若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.在空间四边形ABCD中，连结AC、BD,若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
8.在正四周体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用a，b，c表示)．
9.已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2＝2＋＋λ，则λ＝________.
三、解答题
10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC C′ B′对角线B C′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
11．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．
力气提升
12.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点，若＝a， ＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
13.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.
（1）推断、、三个向量是否共面；
(2)推断点M是否在平面ABC内．
1．利用共线向量定理可以判定两条直线平行或三点共线．
2．空间任意三个不共面对量可以线性表示空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
3．利用共面对量定理可以判定空间三个向量共面或四点共面．
3．1.2 空间向量的基本定理
学问梳理
1．b≠0 存在唯一的实数x a＝xb
2．(1)平行于平面α或在α内 a∥α (2)同一平面 (3)不共线 存在唯一的一对实数x，y c＝xa＋yb
3．(1)不共面 存在一个唯一的有序实数组x，y，z
p＝xa＋yb＋zc (2)不共面的向量 xa＋yb＋zc 基底 {a，b，c} 基向量 线性表示式或线性组合
作业设计
1．C [A中，若b＝0，则a与c不愿定共线；B中，共面对量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不愿定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.]
2．C [由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．]
3．D [∵＝＋＝＋，①
＝＋＋，②
＝＋＋，③
又＝－，＝－2，
∴①＋②＋③，得3＝＋＋，
即x＝，y＝，z＝.]
4．C [∵＋＋＝0，∴＝－－.
∴M与A、B、C必共面．只有选项C符合．]
5．C [
如图所示，由于－＝，而＝，
∴－＝，
即＝＋，
而与不共线，所以，，三向量共面．]
6．D [A错．由于空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B错．由于|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
C错．由于空间向量不争辩大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．
D对．∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确．]
7．0
解析
如图，取BC的中点F，连结DF，则＝，
∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
8.a＋b＋c
解析
如图，＝(＋)
＝＋×(＋)
＝a＋b＋c.
9．－2
解析 P与不共线三点A，B，C共面，
且＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，
则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．
10．解 (1)方法一 取AA′的中点为E，
则＝.
又＝，＝，取F为D′C′的一个三等分点
(D′F＝D′C′)，
则＝.
∴＋＋
＝＋＋＝.
方法二 取AB的三等分点P使得＝，
取CC′的中点Q，则＋＋
＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＝.
(2)连结BD，则M为BD的中点，
＝＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝(－＋)＋(＋)
＝＋＋.
∴α＝，β＝，γ＝.
11．证明 ∵＝，＝，
∴＝2，＝2.
又∵＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝(＋)＋＋(＋)
＝(＋)，①
又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，
∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.
代入①式，得＝(2λ＋2ω)
＝λ＋ω.
∴，，共面．∴M，N，P，Q四点共面．
12．A [＝＋＝＋
＝c＋(＋)＝－＋＋c
＝－a＋b＋c.]
13．解 (1)由已知，得
＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)．
∴＝＋＝－－.
∴向量、、共面．
(2)由(1)知向量、、共面，三个向量的基线又过同一点M，∴四点M、A、B、C共面，
∴点M在平面ABC内．
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