【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(11月第三期)：N单元-选修4系列.docx

N单元 选修4系列
名目
N单元 选修4系列 1
N1 选修4-1 几何证明选讲 1
N2 选修4-2 矩阵 1
N3 选修4-4 参数与参数方程 1
N4 选修4-5 不等式选讲 1
N5 选修4-7 优选法与试验设计 1

N1 选修4-1 几何证明选讲

【数学（理）卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期其次次月考（202210）】14.如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，
AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于_____________．
【学问点】与圆有关的比例线段．N1
【答案解析】 解析：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则
∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，
∴AD=1，
∴R2=2+（R﹣1）2，
∴R=1.5．
故答案为：1.5
【思路点拨】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．

【数学理卷·2021届重庆南开中学高三10月月考（202210）word版】14.如图，PQ为半圆O的直径，A为以OQ为直径的半圆A的圆心，圆O的弦PN切圆A于点M，PN=8，则圆A的半径为___________

【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1
【答案解析】
如图所示，连接AM，QN．
由于PQ是⊙O的直径，∴∠PNQ=90°．
∵圆O的弦PN切圆A于点M，∴AM⊥PN．
∴AM∥QN，
∴．又PN=8，∴PM=6．
依据切割线定理可得：PM2=PO•PQ．
设⊙O的半径为R．则62=R•2R，∴R=3 ，∴⊙A的半径r= R= ．
故答案为：．
【思路点拨】利用圆的直径的性质、圆的切线的性质可得：∠PNQ=90°=∠PMA．进而得到AM∥QN，可得 ．可得PM，再依据切割线定理可得：PM2=PO•PQ．可得PO．

【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，是直角三角形，，
以为直径的圆交于点，点 是
边的中点，连接交圆于点.
（1）求证：、、、四点共圆；
（2）求证：
【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1
【答案解析】（1）略（2）略
证明：（1）连接、，则
又是BC的中点，所以
又，
所以 所以
所以、、、四点共圆
（2）延长交圆于点.
由于.
所以所以
【思路点拨】依据全等证明四点共圆，依据线段的关系证明结论。

【数学理卷·2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】22．（本小题满分10分）已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点， DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．
O
A
B
C
D
E
F
（Ⅰ）求的度数．
（Ⅱ）若AB=AC，求AC:BC．
【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1
【答案解析】：（Ⅰ）设∠EAC=α，依据弦切角定理，∠ABE=α．
依据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
依据三角形内角和定理，∠ACE=90°-2α．由于CD是∠ACB的内角平分线，
所以FCE=45°-α．
再依据三角形内角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．
依据对顶角定理，∠AFD=45°．由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．
（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠CAE=∠B=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ACB，∴△BCA∽△ACE，∴=，
又∵180°=∠ACE+∠CAE+∠AEC=∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），
∴∠CAE=∠B=∠ACB=30°，
∴==．
【思路点拨】（Ⅰ）依据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解．
（Ⅱ）先证明△BCA∽△ACE，再确定∠CAE=∠B=∠ACB=30°，即可得到结论．

【数学文卷·2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】22、选修4­1：几何证明选讲
如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.

【学问点】直径所对圆周角是直角；全等三角形的判定与性质. N1
【答案解析】 解析：(1)证明：由于PD=PG,所以.
由于PD为切线，故.
又由于,故,
所以,从而
由于,所以,
所以,故AB为圆的直径.

(2)连接BC、DC.
由于AB是直径，故
在与中，AB=BA, AC=BD,所以≌，
所以. 又由于,所以,
故.
由于,所以,为直角.
所以ED为直径.
又由（1）知AB为圆的直径，所以ED=AB.
【思路点拨】(1)证明∠BDA是直角，或者用垂径定理证明结论；（2）利用证明三角形全等证明结论.

【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，是直角三角形，，
以为直径的圆交于点，点是边
的中点，连接交圆于点.
（1）求证：、、、四点共圆；
（2）求证：
【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1
【答案解析】（1）略（2）略
证明：（1）连接、，则
又是BC的中点，所以
又，
所以 所以
所以、、、四点共圆
（2）延长交圆于点.
由于.
所以所以
【思路点拨】依据全等证明四点共圆，依据线段的关系证明结论。

【数学文卷·2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】22.（本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲
已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点
（1）求证：BD平分∠ABC
（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长
【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1
【答案解析】（1）略（2）3
（1）
又切圆于点，
而（同弧）所以，BD平分∠ABC
（2）由（1）知，又，

又为公共角，所以与相像，
，由于AB＝4，AD＝6，BD＝8，所以AH=3
【思路点拨】依据同弧所对的圆周角相等，依据三角形相像求出AH=3。

N2 选修4-2 矩阵

N3 选修4-4 参数与参数方程

【数学（理）卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期其次次月考（202210）】15．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，
建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的
参数方程是 (t为参数)，圆C的极坐标方程是，
则直线l被圆C截得的弦长为____________．
【学问点】参数方程化成一般方程；点的极坐标和直角坐标的互化．N3
【答案解析】2 解析：∵圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，
∴x2+y2=4x，化为（x﹣2）2+y2=4，其圆心C（2，0），半径r=2．
由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得y=x﹣4．
圆心C到直线l的距离d==．
∴直线l被圆C截得的弦长=2=．
故答案为：2．
【思路点拨】圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，利用可得直角坐标方程，可得圆心C及其半径r．由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得y=x﹣4．利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d．再利用弦长公式l=2即可得出．

【数学理卷·2021届重庆南开中学高三10月月考（202210）word版】15.已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为_____________
【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】-1
由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，
则它们的直角坐标方程分别为 x2+（y-1）2=1，x+y+1=0．
曲线C1上表示一个半径为1的圆，圆心为（0，1），
曲线C2表示一条直线，圆心到直线的距离为d= ，
故曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为-1，故答案为：-1．
【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为d，再把d减去半径，即为所求．

【数学理卷·2021届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考（202210）】15．（坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为 。
【学问点】简洁曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化 N3
【答案解析】B 解析：解：将原极坐标方程ρ=4cosθ，化为：
ρ2=4ρcosθ，
化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，
它关于直线y=x（即θ=）对称的圆的方程是
x2+y2﹣4y=0，其极坐标方程为：ρ=4sinθ．
故答案为：ρ=4sinθ．
【思路点拨】先将原极坐标方程ρ=4cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再结合曲线关于直线的对称性，利用直角坐标方程解决问题
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．
已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，
且依逆时针次序排列，点的极坐标为
（1）求点的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围。
【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】（1）（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1）（2）[32，52]
（1）点A，B，C，D的直角坐标为（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1），
（2）设P（x0，y0），则（φ为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]．
【思路点拨】确定点A，B，C，D的直角坐标，利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

【数学文卷·2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】23．选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程、直线l的一般方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【学问点】参数方程与一般方程的互化；点到直线的距离；三角函数式的最值. N3
【答案解析】（1）见解析；（2）最大值为，最小值为.
解析：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，
直线l的一般方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到直线l的距离d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，
最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，
最小值为.
【思路点拨】（1）由椭圆参数方程公式写出椭圆参数方程，把直线参数方程中的参数消去得其一般方程；（2）设出)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)，利用点到直线的距离公式，Rt三角形的边角关系得|PA|关于的三角函数式，再用三角函数的最值求结论.

【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】11、在极坐标系中，点到直线的距离是 .
【学问点】极坐标的意义. N3
【答案解析】 解析：点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，所以所求距离为.
【思路点拨】先把极坐标系下的坐标、方程，化为直角坐标系下的坐标、方程，利用直角坐标系中，点到直线的距离公式求解.

【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．
已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，
且依逆时针次序排列，点的极坐标为
（1）求点的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围。
【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】（1）（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1）（2）[32，52]
（1）点A，B，C，D的直角坐标为（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1），
（2）设P（x0，y0），则（φ为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]．
【思路点拨】确定点A，B，C，D的直角坐标，利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

【数学文卷·2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系和参数方程
以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知某圆的极坐标方程为
（1）将极坐标方程化为一般方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值．
【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】（1）（2）6和2
（1）由ρ2-4ρcos(θ-)+6=0，得ρ2-4ρ(cosθcos+sinθsin)+6=0，即ρ2-4ρ(cosθ+sinθ)+6=0，
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，即x2+y2-4x-4y+6=0为所求圆的一般方程，
整理为圆的标准方程（x-2）2+（y-2）2=2，令x-2=cosα，y-2=sinα．
得圆的参数方程为（α为参数）；
（2）由（1）得：x+y=4+(cosα+sinα)=4+2sin（α+），∴当sin（α+）=1时，x+y的最大值为6，当sin（α+）=-1时，x+y的最小值为2．故x+y的最大值和最小值分别是6和2．
【思路点拨】（1）开放两角差的余弦，整理后代入ρcosθ=x，ρsinθ=y得圆的一般方程，化为标准方程后由三角函数的平方关系化参数方程；
（2）把x，y分别代入参数式，利用三角函数化积后借助于三角函数的有界性求最值．

【数学文卷·2021届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（202210）】17、（本小题满分分）选修：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于，两点，求，两点间的距离．
【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】（1）x2+y2-x-y=0（Ⅱ）
（1）将曲线C的极坐标方程化为ρ=2sin（θ+ ）=cosθ+sinθ
两边都乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y 2
代入上式，得方求曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-x-y=0
（2）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得一般方程：4x-3y+1=0，将圆C的极坐标方程化为一般方程为：x2+y2-x-y=0，
所以（，）为圆心，半径等于所以，圆心C到直线l的距离d=
所以直线l被圆C截得的弦长为：|MN|=2 ．即M、N两点间的距离为．
【思路点拨】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，将曲线C的极坐标方程：ρ=2sin（θ+ ）化成直角坐标方程：x2+y2-x-y=0，问题得以解决；
（2）先将直线l的参数方程化成一般方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲线C是以（， ）为圆心，半径等于的圆，结合点到直线的距离公式及圆的几何性质，可求得M、N两点间的距离

N4 选修4-5 不等式选讲

【数学（理）卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期其次次月考（202210）】16．若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是_________．
【学问点】确定值不等式的解法．N4
【答案解析】（﹣∞，0）∪{2} 解析：令y=|x+1|+|x﹣3|，由确定值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x﹣3|的最小值为4，
∵不等式对任意的实数x恒成立
∴原不等式可化为≤4
解得a=2或a＜0
故答案为：（﹣∞，0）∪{2}．
【思路点拨】不等式对任意的实数x恒成立转化为a+小于等于函数y=|x+1|+|x﹣3|的最小值，依据确定值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x﹣3|的最小值为4，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

【数学理卷·2021届重庆南开中学高三10月月考（202210）word版】16.若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是_______
【学问点】选修4-5 不等式选讲N4
【答案解析】[-2，5] ∵|x+3|+|x-7|≥|（x+3）+（7-x）|=10，
∴|x+3|+|x-7|≥a2-3a的解集为R⇔a2-3a≤10，解得-2≤a≤5．
∴实数a的取值范围是[-2，5]．故答案为：[-2，5]．
【思路点拨】利用确定值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|≥10，依题意，解不等式a2-3a≤10即可．

【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知(a是常数，a∈R)
（1）当a=1时求不等式的解集；
（2）假如函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
【学问点】选修4-5 不等式选讲N4
【答案解析】（1）{x|x≥2或x≤-4}．（2）（-2，2）
①当a=1时，f（x）=|2x-1|+x-5=．
由解得x≥2； 由解得x≤-4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤-4}．
②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5．作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观看可以知道，当-2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（-2，2）．
【思路点拨】①当a=1时，f（x）= ，把 和 的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5，作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观看可以知道，当-2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．

【数学理卷·2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】23．（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.
（Ⅰ）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离．
【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】（1）[-，]．（2）
（1）曲线M （θ为参数），即 x2=1+y，
即 y=x2-1，其中，x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[-，]．
把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（其中t为常数）化为直角坐标方程为 x+y-t=0．
由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个公共点，
则有直线N过点A（，1时满足要求，
并且向左下方平行运动直到过点B（-，1）之前总是保持只有一个公共点，
再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，
所以-+1＜t≤+1满足要求，当直线和曲线M相切时，由有唯一解，
即 x2+x-1-t=0 有唯一解，故有△=1+4+4t=0，解得t=-．
综上可得，要求的t的范围为（-+1，+1]∪{-}．
（2）当t=-2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=-．
故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的
距离为 =．
【思路点拨】（1）把曲线M的参数方程化为 y=x2-1，把曲线N的极坐标方程化为 x+y-t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围．
（2）当t=-2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=- ，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+ =0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．
24．（本小题满分10分）对于任意的实数
恒成立，记实数M的最大值是m．
（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）解不等式．
【学问点】选修4-5 不等式选讲N4
【答案解析】（1）m=2（2）{x|≤x≤}
（1）不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，即M≤
对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，故只要左边恒小于或等于右边的最小值．
由于|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，当且仅当（a-b）（a+b）≥0时等号成立，
即|a|≥|b|时，≥2 成立，也就是的最小值是2，
故M的最大值为2，即 m=2．
（2）不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2．
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，
故|x-1|+|x-2|≤2的解集为：{x|≤x≤}．
【思路点拨】（1）由题意可得，M≤对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，再由 ≥2可得，M≤2，由此可得m的值．
（2）由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上和 对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，由此求得|x-1|+|x-2|≤2的解集．

【数学文卷·2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】24、选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．
【学问点】确定值不等式的性质；基本不等式；确定值不等式的解法. N4
【答案解析】（1）证明：见解析；（2）. 解析：(1)证明：由于a>0，
所以， 所以.
(2) 。
当a>3时，，由f(3)<5得，
当时，，由f(3)<5得，
综上，a的取值范围是.
【思路点拨】（1）利用确定值不等式的性质及均值不等式证明结论；（2）对a分类争辩去掉确定值，求得a范围.

【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知(a是常数，a∈R)
（1）当a=1时求不等式的解集；
（2）假如函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
【学问点】选修4-5 不等式选讲N4
【答案解析】（1）{x|x≥2或x≤-4}．（2）（-2，2）
①当a=1时，f（x）=|2x-1|+x-5=．
由解得x≥2； 由解得x≤-4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤-4}．
②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5．作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观看可以知道，当-2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（-2，2）．
【思路点拨】①当a=1时，f（x）= ，把 和 的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5，作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观看可以知道，当-2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．

N5 选修4-7 优选法与试验设计