【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(11月第三期)：N单元-选修4系列.docx

N单元 选修4系列名目N单元 选修4系列1N1 选修4-1 几何证明选讲1N2 选修4-2 矩阵1N3 选修4-4 参数与参数方程1N4 选修4-5 不等式选讲1N5 选修4-7 优选法与试验设计1N1 选修4-1 几何证明选讲【数学（理）卷2021届重庆市重庆一中高三上学期其次次月考（202210）】14.如图所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB，BC2，则O的半径等于_【学问点】与圆有关的比例线段N1 【答案解析】 解析：设垂足为D，O的半径等于R，则AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=2，AD=1，R2=2+（R1）2，R=1.5故答案为：1.5【思路点拨】设垂足为D，O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可【数学理卷2021届重庆南开中学高三10月月考（202210）word版】14.如图，PQ为半圆O的直径，A为以OQ为直径的半圆A的圆心，圆O的弦PN切圆A于点M，PN=8，则圆A的半径为_【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案解析】如图所示，连接AM，QN由于PQ是O的直径，PNQ=90圆O的弦PN切圆A于点M，AMPNAMQN，又PN=8，PM=6依据切割线定理可得：PM2=POPQ设O的半径为R则62=R2R，R=3 ，A的半径r= R= 故答案为：【思路点拨】利用圆的直径的性质、圆的切线的性质可得：PNQ=90=PMA进而得到AMQN，可得 可得PM，再依据切割线定理可得：PM2=POPQ可得PO【数学理卷2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】22.（本题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，是直角三角形，以为直径的圆交于点，点 是边的中点，连接交圆于点.（1）求证：、四点共圆；（2）求证：【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案解析】（1）略（2）略证明：（1）连接、，则 又是BC的中点，所以 又， 所以 所以 所以、四点共圆 （2）延长交圆于点. 由于. 所以所以 【思路点拨】依据全等证明四点共圆，依据线段的关系证明结论。【数学理卷2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】22（本小题满分10分）已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点， DC是ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点OABCDEF （）求的度数 （）若AB=AC，求AC:BC【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案解析】：（）设EAC=，依据弦切角定理，ABE=依据三角形外角定理，AEC=90+依据三角形内角和定理，ACE=90-2由于CD是ACB的内角平分线，所以FCE=45-再依据三角形内角和定理，CFE=180-（90+）-（45-）=45依据对顶角定理，AFD=45由于DAF=90，所以ADF=45（）AB=AC，CAE=B=ACB，又ACB=ACB，BCAACE，=，又180=ACE+CAE+AEC=ACE+CAE+（90+ABE），CAE=B=ACB=30，=【思路点拨】（）依据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解（）先证明BCAACE，再确定CAE=B=ACB=30，即可得到结论【数学文卷2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】22、选修41：几何证明选讲如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径； (2)若ACBD，求证：ABED.【学问点】直径所对圆周角是直角；全等三角形的判定与性质. N1 【答案解析】 解析：(1)证明：由于PD=PG,所以.由于PD为切线，故.又由于,故,所以,从而由于,所以,所以,故AB为圆的直径.(2)连接BC、DC.由于AB是直径，故在与中，AB=BA, AC=BD,所以，所以. 又由于,所以,故.由于,所以,为直角.所以ED为直径.又由（1）知AB为圆的直径，所以ED=AB.【思路点拨】(1)证明BDA是直角，或者用垂径定理证明结论；（2）利用证明三角形全等证明结论.【数学文卷2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】22.（本题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，是直角三角形，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点.（1）求证：、四点共圆；（2）求证：【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案解析】（1）略（2）略证明：（1）连接、，则 又是BC的中点，所以 又， 所以 所以 所以、四点共圆 （2）延长交圆于点. 由于. 所以所以 【思路点拨】依据全等证明四点共圆，依据线段的关系证明结论。【数学文卷2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】22.（本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，ACDE，AC与BD相交于H点（1）求证：BD平分ABC（2）若AB4，AD6，BD8，求AH的长【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案解析】（1）略（2）3（1）又切圆于点，而（同弧）所以，BD平分ABC （2）由（1）知，又，又为公共角，所以与相像，由于AB4，AD6，BD8，所以AH=3 【思路点拨】依据同弧所对的圆周角相等，依据三角形相像求出AH=3。N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程【数学（理）卷2021届重庆市重庆一中高三上学期其次次月考（202210）】15以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是 (t为参数)，圆C的极坐标方程是，则直线l被圆C截得的弦长为_【学问点】参数方程化成一般方程；点的极坐标和直角坐标的互化N3 【答案解析】2 解析：圆C的极坐标方程是=4cos，2=4cos，x2+y2=4x，化为（x2）2+y2=4，其圆心C（2，0），半径r=2由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得y=x4圆心C到直线l的距离d=直线l被圆C截得的弦长=2=故答案为：2【思路点拨】圆C的极坐标方程是=4cos，利用可得直角坐标方程，可得圆心C及其半径r由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得y=x4利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d再利用弦长公式l=2即可得出【数学理卷2021届重庆南开中学高三10月月考（202210）word版】15.已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为_【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案解析】-1由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为=2sin，cos+sin+1=0，则它们的直角坐标方程分别为 x2+（y-1）2=1，x+y+1=0曲线C1上表示一个半径为1的圆，圆心为（0，1），曲线C2表示一条直线，圆心到直线的距离为d= ，故曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为-1，故答案为：-1【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为d，再把d减去半径，即为所求【数学理卷2021届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考（202210）】15（坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为 。【学问点】简洁曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化 N3【答案解析】B 解析：解：将原极坐标方程=4cos，化为：2=4cos，化成直角坐标方程为：x2+y24x=0，它关于直线y=x（即=）对称的圆的方程是x2+y24y=0，其极坐标方程为：=4sin故答案为：=4sin【思路点拨】先将原极坐标方程=4cos两边同乘以后化成直角坐标方程，再结合曲线关于直线的对称性，利用直角坐标方程解决问题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【数学理卷2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】23.（本小题满分10分）选修44；坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案解析】（1）（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1）（2）32，52（1）点A，B，C，D的直角坐标为（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1），（2）设P（x0，y0），则（为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2sin20，1t32，52 【思路点拨】确定点A，B，C，D的直角坐标，利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【数学文卷2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】23选修44：坐标系与参数方程已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程、直线l的一般方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【学问点】参数方程与一般方程的互化；点到直线的距离；三角函数式的最值. N3【答案解析】（1）见解析；（2）最大值为，最小值为.解析：(1)曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的一般方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到直线l的距离d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值， 最小值为.【思路点拨】（1）由椭圆参数方程公式写出椭圆参数方程，把直线参数方程中的参数消去得其一般方程；（2）设出)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )，利用点到直线的距离公式，Rt三角形的边角关系得|PA|关于的三角函数式，再用三角函数的最值求结论.【数学文卷2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】11、在极坐标系中，点到直线的距离是 .【学问点】极坐标的意义. N3【答案解析】 解析：点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，所以所求距离为.【思路点拨】先把极坐标系下的坐标、方程，化为直角坐标系下的坐标、方程，利用直角坐标系中，点到直线的距离公式求解.【数学文卷2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】23.（本小题满分10分）选修44；坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案解析】（1）（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1）（2）32，52（1）点A，B，C，D的直角坐标为（1，），（- ，1），（-1，- ），（-1），（2）设P（x0，y0），则（为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2sin20，1t32，52 【思路点拨】确定点A，B，C，D的直角坐标，利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【数学文卷2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系和参数方程以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知某圆的极坐标方程为（1）将极坐标方程化为一般方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案解析】（1）（2）6和2（1）由2-4cos(-)+6=0，得2-4(coscos+sinsin)+6=0，即2-4(cos+sin)+6=0，2-4cos-4sin+6=0，即x2+y2-4x-4y+6=0为所求圆的一般方程，整理为圆的标准方程（x-2）2+（y-2）2=2，令x-2=cos，y-2=sin得圆的参数方程为（为参数）；（2）由（1）得：x+y=4+(cos+sin)=4+2sin（+），当sin（+）=1时，x+y的最大值为6，当sin（+）=-1时，x+y的最小值为2故x+y的最大值和最小值分别是6和2【思路点拨】（1）开放两角差的余弦，整理后代入cos=x，sin=y得圆的一般方程，化为标准方程后由三角函数的平方关系化参数方程；（2）把x，y分别代入参数式，利用三角函数化积后借助于三角函数的有界性求最值【数学文卷2021届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（202210）】17、（本小题满分分）选修：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于，两点，求，两点间的距离【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案解析】（1）x2+y2-x-y=0（）（1）将曲线C的极坐标方程化为=2sin（+ ）=cos+sin两边都乘以，得2=cos+sin由于x=cos，y=sin，2=x2+y 2代入上式，得方求曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-x-y=0（2）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得一般方程：4x-3y+1=0，将圆C的极坐标方程化为一般方程为：x2+y2-x-y=0，所以（，）为圆心，半径等于所以，圆心C到直线l的距离d=所以直线l被圆C截得的弦长为：|MN|=2 即M、N两点间的距离为【思路点拨】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，将曲线C的极坐标方程：=2sin（+ ）化成直角坐标方程：x2+y2-x-y=0，问题得以解决；（2）先将直线l的参数方程化成一般方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲线C是以（， ）为圆心，半径等于的圆，结合点到直线的距离公式及圆的几何性质，可求得M、N两点间的距离N4 选修4-5 不等式选讲【数学（理）卷2021届重庆市重庆一中高三上学期其次次月考（202210）】16若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是_【学问点】确定值不等式的解法N4 【答案解析】（，0）2 解析：令y=|x+1|+|x3|，由确定值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x3|的最小值为4，不等式对任意的实数x恒成立原不等式可化为4解得a=2或a0故答案为：（，0）2【思路点拨】不等式对任意的实数x恒成立转化为a+小于等于函数y=|x+1|+|x3|的最小值，依据确定值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x3|的最小值为4，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【数学理卷2021届重庆南开中学高三10月月考（202210）word版】16.若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是_【学问点】选修4-5 不等式选讲N4【答案解析】-2，5 |x+3|+|x-7|（x+3）+（7-x）|=10，|x+3|+|x-7|a2-3a的解集为Ra2-3a10，解得-2a5实数a的取值范围是-2，5故答案为：-2，5【思路点拨】利用确定值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|10，依题意，解不等式a2-3a10即可【数学理卷2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知(a是常数，aR)（1）当a=1时求不等式的解集；（2）假如函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围【学问点】选修4-5 不等式选讲N4【答案解析】（1）x|x2或x-4（2）（-2，2）当a=1时，f（x）=|2x-1|+x-5=由解得x2； 由解得x-4f（x）0的解为x|x2或x-4 由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观看可以知道，当-2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点故a的取值范围是（-2，2）【思路点拨】当a=1时，f（x）= ，把 和 的解集取并集，即得所求由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5，作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观看可以知道，当-2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围【数学理卷2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】23（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.（）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；（）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案解析】（1）-，（2）（1）曲线M （为参数），即 x2=1+y，即 y=x2-1，其中，x=sin+cos=sin（+）-，把曲线N的极坐标方程为sin（+）=t（其中t为常数）化为直角坐标方程为 x+y-t=0由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个公共点，则有直线N过点A（，1时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点B（-，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以-+1t+1满足要求，当直线和曲线M相切时，由有唯一解，即 x2+x-1-t=0 有唯一解，故有=1+4+4t=0，解得t=-综上可得，要求的t的范围为（-+1，+1-（2）当t=-2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=-故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离为 =【思路点拨】（1）把曲线M的参数方程化为 y=x2-1，把曲线N的极坐标方程化为 x+y-t=0曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围（2）当t=-2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=- ，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+ =0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果24（本小题满分10分）对于任意的实数恒成立，记实数M的最大值是m（）求m的值； （）解不等式【学问点】选修4-5 不等式选讲N4【答案解析】（1）m=2（2）x|x（1）不等式|a+b|+|a-b|M|a|恒成立，即M对于任意的实数a（a0）和b恒成立，故只要左边恒小于或等于右边的最小值由于|a+b|+|a-b|（a+b）+（a-b）|=2|a|，当且仅当（a-b）（a+b）0时等号成立，即|a|b|时，2 成立，也就是的最小值是2，故M的最大值为2，即 m=2 （2）不等式|x-1|+|x-2|m即|x-1|+|x-2|2由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x-1|+|x-2|2的解集为：x|x 【思路点拨】（1）由题意可得，M对于任意的实数a（a0）和b恒成立，再由 2可得，M2，由此可得m的值（2）由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上和 对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，由此求得|x-1|+|x-2|2的解集【数学文卷2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】24、选修45：不等式选讲设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围【学问点】确定值不等式的性质；基本不等式；确定值不等式的解法. N4【答案解析】（1）证明：见解析；（2）. 解析：(1)证明：由于a0，所以， 所以.(2) 。当a3时，由f(3)5得，当时，由f(3)5得，综上，a的取值范围是.【思路点拨】（1）利用确定值不等式的性质及均值不等式证明结论；（2）对a分类争辩去掉确定值，求得a范围.【数学文卷2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知(a是常数，aR)（1）当a=1时求不等式的解集；（2）假如函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围【学问点】选修4-5 不等式选讲N4【答案解析】（1）x|x2或x-4（2）（-2，2）当a=1时，f（x）=|2x-1|+x-5=由解得x2； 由解得x-4f（x）0的解为x|x2或x-4 由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观看可以知道，当-2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点故a的取值范围是（-2，2）【思路点拨】当a=1时，f（x）= ，把 和 的解集取并集，即得所求由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5，作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观看可以知道，当-2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围N5 选修4-7 优选法与试验设计