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限时练(四)
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一、选择题
1．已知i为虚数单位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为( )．
A．－1或1 B．1
C．－1 D．3
解析 ∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴∴a＝－1.
答案 C
2．设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝lg(1－|x|)的定义域为N，则M∩N＝( )．
A．(－1,0] B．[0,1)
C．(0,1) D．[0,1]
解析 由x2－x≤0，得M＝{x|0≤x≤1}，
∵1－|x|＞0，∴N＝{x|－1＜x＜1}，
∴M∩N＝[0,1)．
答案 B
3．函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )．
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
答案 B
4．已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( )．
A．c<b<a B．c<a<b
C．b<a<c D．b<c<a
解析 先把不同底指数化成同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最终利用中间值与对数函数值进行比较大小．a＝21.2>2，而b＝－0.8＝20.8，所以1<b<2，c＝2log52＝log54<1，所以c<b<a.
答案 A
5．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为( )．
A．24 B．39
C．52 D．104
解析 ∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，由等差数列的性质得6a4＋6a10＝48，∴a7＝4，∴数列{an}的前13项和为13a7＝52.
答案 C
6．执行如图的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 此程序框图的算法功能是分段函数
y＝的求值，当y＝3时，相应的x值分别为±2,8.
答案 C
7．登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对比表：
气温(℃)
18
13
10
－1
山高(km)
24
34
38
64
由表中数据，得到线性回归方程＝－2x＋(∈R)．由此估量山高为72(km)处气温的度数为( )．
A．－10 B．－8
C．－6 D．－4
解析 ∵＝10，＝40，∴样本中心点为(10,40)，∵回归直线过样本中心点，∴40＝－20＋，即＝60，∴线性回归方程为＝－2x＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6.
答案 C
8．三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为
( )．
A．2 B．4
C. D．16
解析 取AC的中点D，连接BD，SD，由正视图及侧视图得，BD⊥平面SAC，SC⊥平面ABC，则∠SDB＝90°，且BD＝2，SD＝2，∴SB＝4.
答案 B
9．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，的图象如图所示，·＝( )．
A．8 B．－8
C.－8 D．－＋8
解析 由图可知，＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，又2·＋φ＝π，得φ＝，从而A，B，D，所以＝，＝，·＝·＝－8.
答案 C
10．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2.若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为( )．
A．4＋2 B．－1
C. D．＋1
解析 ∵正三角形MF1F2的边长为2c，设MF1的中点为N，∴F2N⊥NF1，在Rt△NF1F2中，简洁求得，|NF2|＝c，|NF1|＝c，又N在双曲线上，∴|NF2|－|NF1|＝2a，∴2a＝c－c，∴e＝＝＝＋1.
答案 D
11．若k∈[－3,3]，则k的值使得过A(1,1)可以做两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于( )．
A. B．
C. D．
解析 点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切，故需圆心与点A距离大于半径即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3,0)∪(2,3]，概率为P＝＝.
答案 C
12．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )．
A．－1＜a＜4 B．－2＜a＜1
C．－1＜a＜0 D．－1＜a＜2
解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)＜1，f(5)＝，
∴＜1，＜0，解得－1＜a＜4.
答案 A
二、填空题
13．抛物线y＝－4x2的焦点坐标为________．
解析 由y＝－4x2，得x2＝－y，它表示焦点在y轴负半轴上的抛物线，∵2p＝，∴p＝，∴焦点坐标为.
答案
14．若x，y满足约束条件则z＝x－y的最大值是______．
解析 作出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线z＝x－y过点A(1,1)时，目标函数z＝x－y取得最大值0.
答案 0
15．在三棱锥P－ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥的外接球的表面积为________．
解析 ∵侧棱PA，PB，PC两两垂直，∴三棱锥P－ABC的外接球就是以PC，PB，PA为长，宽，高的长方体的外接球，∵PA＝1，PB＝2，PC＝3，∴长方体的体对角线即外接球的直径为，∴此三棱锥的外接球的表面积为14π.
答案 14π
16．已知O为锐角△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，＝x＋y，且2x＋10y＝5，则边BC的长为________．
解析 ∵＝x＋y，＝＋，∴＝x＋(y－1)，∵AB＝6，AC＝10，∴2＝[x＋(y－1)]2＝36x2＋2x(y－1)·＋100(y－1)2，∵2＝(x＋y)2＝36x2＋2xy·＋100y2，O为锐角△ABC的外心，∴2＝2，∴－200y＋100－2x·＝0，即6xcos ∠BAC＝5－10y，∵2x＋10y＝5，∴6xcos ∠BAC＝2x，∴cos∠BAC＝，由余弦定理得BC＝4.
答案 4
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