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双基限时练(二十二)
一、选择题
1．已知集合M＝{x|>0}，N＝{x|2x<4}，则M∩N＝( )
A．∅ B．(－∞，1)
C．(1,2) D．(－∞，2)
解析 由>0，得x>2，或x<1，由2x<4得x<2，所以M∩N＝{x|x<1}．
答案 B
2．不等式<0的解集为( )
A．{x|－2<x<3} B．{x|x<－2}
C．{x|x<－2，或x>3} D．{x|x>3}
解析 原不等式同解于(x－3)(x＋2)<0，得－2<x<3.
答案 A
3．不等式(x－1)·≥0的解集是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1，＋∞)∪{－2} D．(－∞，－2]∪{1}
解析 由题意得或x＋2＝0，得x＝－2或x≥1.
答案 C
4．已知关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)(x＋3)>0的解集为( )
A．(－3，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(－1,2)
C．(－3，－1)
D．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
解析 由ax>b的解集为(1，＋∞)，可知a>0且a＝b，故(ax＋b)(x－2)(x＋3)>0同解于
(x＋1)(x－2)(x＋3)>0，得－3<x<－1，或x>2.
答案 A
5．设a>b>c，a、b、c为常数，则不等式(x－a)(x－c)(x－b)2>0的解集是( )
A．{x|c<x<b，或x>a} B．{x|x<c，或b<x<a}
C．{x|x<c，或x>a} D．{x|x>a，或x<b}
解析 由穿针引线法可知．
答案 C
6．若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为{x|1<x<2}，则关于x的不等式>0的解集是( )
A．(1,2)
B．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
C．(－1,1)∪(2,6)
D．(－∞，－1)∪(1,2)∪(6，＋∞)
解析 由x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，故>0，
同解于(x－1)(x－2)(x＋1)(x－6)>0，得x<－1，或1<x<2，或x>6.
答案 D
二、填空题
7．设集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|<0}，则A∩B＝________.
解析 由log2x<1，得0<x<2，由<0，得－2<x<1，故A∩B＝{x|0<x<1}．
答案 (0,1)
8．不等式>0的解集为________．
解析 原不等式同解于(x－2)(x2＋3x＋2)>0，即(x－2)(x＋1)(x＋2)>0，得－2<x<－1，或x>2.
答案 (－2，－1)∪(2，＋∞)
9．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则>0的解集为________．
解析 由题可知(x－a)(x＋1)＝0有两根－1,4，故a＝4，由>0得x>，或x<－1.
答案 (－∞，－1)∪
三、解答题
10．解下列不等式．
(1)1＋x－x3－x4>0；
(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0；
(3)<0.
解 (1)原不等式可化为x4＋x3－x－1<0，
(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)<0，
得－1<x<1.
∴原不等式的解集为(－1,1)．
(2)由x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0，
得－2≤x≤－1，或x≥0，
故原不等式的解集为[－2，－1]∪[0，＋∞)．
(3)原不等式同解于(x2＋2x－3)(x2－x－6)>0，
(x＋3)(x－1)(x－3)(x＋2)>0，
得x<－3，或－2<x<1，或x>3，
∴原不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1)∪(3，＋∞)．
11．解关于x的不等式<1－a(a∈R)．
解 原不等式可化为(x－1)[ax－(a－1)]<0，
(1)当a＝0时，原不等式为x－1<0，即x<1.
(2)当a≠0时，方程(x－1)[ax－(a－1)]＝0的两根为x1＝1，x2＝，所以1－＝.
①当a>0时，>0，所以1>.
此时不等式的解集为{x|<x<1}；
②当a<0时，<0，所以1<.
此时原不等式化为(x－1)[－ax＋(a－1)]>0，不等式的解集为{x|x>，或x<1}．
综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|<x<1}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x<1}；
当a<0时，不等式的解集为{x|x>，或x<1}．
12．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，求实数m的取值范围．
解 原不等式可化为(m－2)x2＋(2m－4)x－4<0，
当m＝2时，不等式可化为－4<0，不等式的解集为R；
当m≠2时，由题意得
得－2<m<2.
综上得实数m的取值范围是(－2,2]．
思 维 探 究
13．已知关于x的不等式<0的解集为M.
(1)当a＝4时，求集合M；
(2)当3∈M且5∉M时，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝4时，原不等式可化为<0，
即4(x－2)(x＋2)<0，
得x<－2，或<x<2.
∴M＝(－∞，－2)∪.
(2)由题意得
得得1≤a<，或9<a≤25.
综上，得a的取值范围是1≤a<，或9<a≤25.
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