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高考中档大题规范练(二)
——数 列
(推举时间：60分钟)
1．已知{an}为等差数列，且a2＝－1，a5＝8.
(1)求数列{|an|}的前n项和；
(2)求数列{2n·an}的前n项和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由于a2＝－1，a5＝8，所以解得a1＝－4，d＝3，
所以an＝－4＋3(n－1)＝3n－7，
因此|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn，
当n＝1时，S1＝|a1|＝4，
当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5，
当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋＝n2－n＋10.
又当n＝2时满足此式，
综上，Sn＝
(2)记数列{2n·an}的前n项和为Tn，
则Tn＝2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan，
2Tn＝22a1＋23a2＋24a3＋…＋2nan－1＋2n＋1an，
所以－Tn＝2a1＋d(22＋23＋…＋2n)－2n＋1an.
由(1)知，a1＝－4，d＝3，an＝3n－7，
所以－Tn＝－8＋3×－(3n－7)×2n＋1
＝－20－(3n－10)×2n＋1，故Tn＝20＋(3n－10)×2n＋1.
2．已知函数f(x)＝(x∈R)．
(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝；
(2)若数列{an}的通项公式为an＝f()(m∈N*，n＝1,2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；
(3)设数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝b＋bn，Tn＝＋＋…＋，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，Sm<Tn恒成立，试求m的最大值．
(1)证明 由于f(x)＝，
所以f(1－x)＝＝＝.
所以f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＝.
(2)解 由(1)，知f(x)＋f(1－x)＝，
所以f()＋f(1－)＝(1≤k≤m－1)(k∈N*)，
即f()＋f()＝.由题设知，an＝f()，
所以ak＋am－k＝，am＝f()＝f(1)＝.
又Sm＝a1＋a2＋…＋am－1＋am，①
Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am，②
由①＋②，得2Sm＝(m－1)×＋2am＝－，
即Sm＝－(m∈N*)．
(3)解 由b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，
明显对任意n∈N*，bn>0，
则＝＝－，
即＝－，
所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)
＝－＝3－.
由于bn＋1－bn＝b>0，
所以bn＋1>bn，即数列{bn}是单调递增数列．
所以Tn关于n递增，所以当n∈N*时，Tn≥T1.
由于b1＝，b2＝()2＋＝，
所以Tn≥T1＝3－＝.
由题意，知Sm<，即－<，解得m<，
所以m的最大值为3.
3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1＝1，设数列{bn}满足bn＝an＋2n.
(1)求证数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)若数列cn＝，Tn是数列{cn}的前n项和，证明Tn<3.
(1)解 当n≥2时，由⇒2an＝an＋1－an－2n，所以an＋1＝3an＋2n，
从而bn＋1＝an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)＝3bn，
故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，
bn＝an＋2n＝3×3n－1＝3n，an＝3n－2n(n≥2)，
由于a1＝1也满足，于是an＝3n－2n.
(2)证明 cn＝＝，
则Tn＝＋＋＋…＋＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得，Tn＝＋＋＋…＋－＝1＋·－＝2－－＝2－，
故Tn＝3－<3.
4．已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(a＋n)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)n＝1时，a1＝(a＋1)，得a1＝1，
当n≥2时，Sn－1＝(a＋n－1)，
得an＝Sn－Sn－1＝(a－a＋1)，
化简得(an－1)2－a＝0，
an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n≥2)，
又{an}是单调递增数列，故an－an－1＝1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
(2)cn＝
当n为偶数时，
Tn＝(c1＋c3＋…＋cn－1)＋(c2＋c4＋…＋cn)
＝(＋＋…＋)＋3×(21＋23＋…＋2n－1)＋
＝＋＋…＋＋3×＋
＝×(－＋－＋…＋－)＋2×(4－1)＋＝2n＋1＋.
当n为奇数时，
Tn＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn－1)
＝[＋＋…＋]＋3×(21＋23＋…＋2n－2)＋
＝×(－＋－＋…＋－)＋2×(4－1)＋＝2n＋.
所以Tn＝
5．已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f()，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N*成立，求最小正整数m.
解 (1)∵an＋1＝f()＝＝＝an＋，
∴{an}是以1为首项，为公差的等差数列．
∴an＝1＋(n－1)×＝n＋.
(2)当n≥2时，bn＝＝
＝＝(－)，
又b1＝3＝(1－)，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝，
∵Sn<对一切n∈N*成立，
即<对一切n∈N*成立，
又<，∴≥，即m≥2 023.
∴最小正整数m为2 023.
6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从其次年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开头，每年的维护费用比上年增加25%.
(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；
(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n年每年的平均维护费用，并推断第几年年初需要更新该生产线？
解 (1)由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，
∴an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.当n≥8时，
数列{an}从a7开头构成首项为a7＝2×7＋2＝16，
公比为1＋25%＝的等比数列，
则此时an＝16×n－7，∴an＝
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，
当1≤n≤7时，Sn＝4n＋×2＝n2＋3n，
当n≥8时，由S7＝70，
则Sn＝70＋16××＝80×n－7－10，
∴该生产线前n年每年的平均维护费用为
＝
当1≤n≤7时，为递增数列，当n≥8时，
∵－＝－
＝>0，∴>.
∴也为递增数列．
又∵＝10<12，＝＝11.25<12，
＝≈12.78>12，
∴第9年年初需要更新生产线．
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