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8-3
带电粒子在复合场中的运动
(45分钟 100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题7分，共70分。每小题至少一个答案正确，选不全得4分。)
1．带正电的甲、乙、丙三个粒子(不计重力)分别以速度v甲、v乙、v丙垂直射入电场和磁场相互垂直的复合场中，其轨迹如图所示，则下列说法正确的是( )
A．v甲＞v乙＞v丙
B．v甲＜v乙＜v丙
C．甲的速度可能变大
D．丙的速度不肯定变大
【解析】 由左手定则可推断正电荷所受洛伦兹力向上，而所受的电场力向下，由运动轨迹可推断qv甲 B＞qE即v甲＞，同理可得v乙＝，v丙＜，所以v甲＞v乙＞v丙，故A正确、B错；电场力对甲做负功，甲的速度肯定减小，对丙做正功，丙的速度肯定变大，故C、D错误。
【答案】 A
2．空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向(垂直纸面对里)的匀强磁场，如图所示。已知一离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开头自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为运动的最低点，不计重力。则( )
A．该离子带负电
B．A、B两点位于同一高度
C．C点时离子速度最大
D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点
【解析】 由左手定则和离子运动的轨迹可推断出离子带正电，A、D均错误，而洛伦兹力不做功，由动能定理可知电场力做功为零，则A、B两点必处于同一高度，B正确；离子运动到C点时，合外力做正功最多，动能最大，故C正确。
【答案】 BC
3．(2022·南京模拟)如图所示，一个带负电的物体从粗糙斜面顶端滑到斜面底端时的速度为v，若加上一个垂直纸面指向读者方向的磁场，则滑到底端时( )
A．v变大 B．v变小
C．v不变 D．不能确定
【解析】 洛伦兹力虽然不做功，但其方向垂直斜面对下，使物体与斜面间的正压力变大，故摩擦力变大，损失的机械能增加，因而v变小。
【答案】 B
4．(2022·南京模拟)如图所示，平行板电容器的金属极板M、N的距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面对外的匀强磁场，等离子群以速度v沿图示方向射入。已知电容器的电容为C，则( )
A．当开关S断开时，稳定后电容器的电荷量Q＞BvdC
B．当开关S断开时，稳定后电容器的电荷量Q＜BvdC
C．当开关S闭合时，稳定后电容器的电荷量Q＜BvdC
D．当开关S闭合时，稳定后电容器的电荷量Q＞BvdC
【解析】 洛伦兹力使正离子向N板偏转，负离子向M板偏转，当q＝qvB时离子不再偏转，故断开开关S时，电容器两极所能达到的最大电压UC＝Bvd，最大电荷量Q＝BvdC，A、B均错；当开关S闭合时，平行金属板及等离子群相当于一电源，电源电动势E＝Bvd，由于内阻的存在，使得UC′＝U′MN＜E＝Bvd，故QC＜BvdC。C正确，D错误。
【答案】 C
5．如图所示，质量为m，电荷量为e的质子以某一初速度从坐标原点O沿x轴正方向进入场区，若场区仅存在平行于y轴向上的匀强电场时，质子通过P(d，d)点时的动能为5Ek；若场区仅存在垂直于xOy平面的匀强磁场时，质子也能通过P点。不计质子的重力。设上述匀强电场的电场强度大小为E，匀强磁场的磁感应强度大小为B，则下列说法中正确的是( )
A．E＝ B．E＝
C．B＝ D．B＝
【解析】 质子在电场中，d＝v0t，d＝t，m()2＝5Ek，vy＝at，a＝，解得E＝，A、B错误。再依据ev0B＝，B＝，故C错误，D正确。
【答案】 D
6．(2022·广州模拟)欧洲强子对撞机在2010年初重新启动，并取得了将质子加速到1.18万亿电子伏特的阶段成果，为实现质子对撞打下了坚实的基础。质子经过直线加速器加速后进入半径肯定的环形加速器，在环形加速器中，质子每次经过位置A时都会被加速(如图甲所示)，当质子的速度达到要求后，再将它们分成两束引导到对撞轨道中，在对撞轨道中两束质子沿相反方向做匀速圆周运动，并最终实现对撞(如图乙所示)。质子是在磁场的作用下才得以做圆周运动的。下列说法中正确的是( )
A．质子在环形加速器中运动时，轨道所处位置的磁场会渐渐减小
B．质子在环形加速器中运动时，轨道所处位置的磁场始终保持不变
C．质子在对撞轨道中运动时，轨道所处位置的磁场会渐渐减小
D．质子在对撞轨道中运动时，轨道所处的磁场始终保持不变
【解析】 质子在环形加速器中运动时，质子的速度越来越大，但半径保持不变。依据R＝可知，当速度渐渐增大时，B也渐渐增大才能保持R不变，故A、B都不对；质子在对撞轨道中运动时，半径和速率均不变，故轨道所处位置的磁场始终保持不变，C不对，D正确。
【答案】 D
7．(2022·南宁模拟)如右图所示，一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，不计重力，在a点以某一初速度水平向左射入磁场区域Ⅰ，沿曲线abcd运动，ab、bc、cd都是半径为R的圆弧，粒子在每段圆弧上运动的时间都为t。规定垂直于纸面对外的磁感应强度为正，则磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的磁感应强度B随x变化的关系可能是下图中的( )
【解析】 由左手定则可推断出磁感应强度B在磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内磁场方向分别为向外、向里和向外，在三个区域中均运动1/4圆周，故t＝T/4，由于T＝，求得B＝，只有选项C正确。
【答案】 C
8．利用如图所示的方法可以测得金属导体中单位体积内的自由电子数n，现测得一块横截面为矩形的金属导体的宽为b，厚为d，并加有与侧面垂直的匀强磁场B，当通以图示方向电流I时，在导体上、下表面间用电压表可测得电压为U。已知自由电子的电荷量为e，则下列推断正确的是( )
A．上表面电势高
B．自由电子定向移动速率为
C．该导体单位体积内的自由电子数为
D．该导体单位体积内的自由电子数为
【解析】 画出平面图如图所示，由左手定则可知，自由电子向上表面偏转，故下表面电势高，A错误。再依据e＝evB，I＝neSv＝nebdv得n＝，v＝，故D正确，B、C错误。
【答案】 D
9．(2021·湖北调研)如右图所示，两导体板水平放置，两板间电势差为U，带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U和v0的变化状况为( )
A．d随v0增大而增大，d与U无关
B．d随v0增大而增大，d随U增大而增大
C．d随U增大而增大，d与v0无关
D．d随v0增大而增大，d随U增大而减小
【解析】 设粒子从M点进入磁场时的速度大小为v，该速度与水平方向的夹角为θ，故有v＝。粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为r＝。而MN之间的距离为d＝2rcos θ。联立解得d＝2，故选项A正确。
【答案】 A
10．如右图所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面对里。很多质量为m带电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中哪个图是正确的( )
【解析】 带电粒子垂直进入匀强磁场中，将做圆周运动。
由于它们入射速度大小相等，所做圆周运动的半径相等，向垂直于磁场的各个方向放射粒子，所以粒子的运动轨迹是围绕放射点以2R为半径旋转的动态圆。多画几个不同方向粒子运动的轨迹，尤其一些典型的和特殊的，通过观看可得出全部这些圆周所掩盖的区域，即为所求，如图所示。
区域的边缘，左边是以O为圆心以2R为半径的圆，右边则是从O点几乎沿MN方向射入的粒子的轨迹。
【答案】 A
二、计算题(本大题共2小题，共30分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
11．(15分)(2021·山东理综)如图所示，在坐标系xOy的第一、第三像限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面对里；第四像限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电量为＋q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四像限，经x轴上的Q点进入第一像限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d。不计粒子重力。
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入其次像限，求B0。
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
【解析】 (1)设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为θ，由牛顿其次定律得
qE＝ma ①
由运动学公式得
d＝at ②
2d＝v0t0 ③
vy＝at0 ④
v＝ ⑤
tan θ＝ ⑥
联立①②③④⑤⑥式得
v＝2 ⑦
θ＝45° ⑧
(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一像限的运动轨迹如图所示，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ为等腰直角三角形，得
R1＝2d ⑨
由牛顿其次定律得
qvB0＝m ⑩
联立⑦⑨⑩式得
B0＝ ⑪
(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析[粒子运动的轨迹如图所示。O2、O2′是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O2′，由几何关系知，O2FGO2′和O2QHO2′均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOF为等腰直角三角形。]可知，粒子在第一、第三像限的轨迹均为半圆，得
2R2＝2d ⑫
粒子在其次、第四像限的轨迹为长度相等的线段，得
FG＝HQ＝2R2 ⑬
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有
t＝ ⑭
联立⑦⑫⑬⑭式得
t＝(2＋π) ⑮
【答案】 (1)2 与x轴正方向夹角45° (2) (3)(2＋π)
12．(15分)(2021·四川理综)如图所示，竖直平面(纸面)内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向。在x≤0的区域内存在方向垂直于纸面对里，磁感应强度大小为B1的匀强磁场。在其次像限紧贴y轴固定放置长为l、表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于x轴且与x轴相距h。在第一像限内的某区域存在方向相互垂直的匀强磁场(磁感应强度大小为B2、方向垂直于纸面对外)和匀强电场(图中未画出)。一质量为m、不带电的小球Q从平板下侧A点沿x轴正向抛出；另一质量也为m、带电量为q的小球P从A点紧贴平板沿x轴正向运动，变为匀速运动后从y轴上的D点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经圆周离开电磁场区域，沿y轴负方向运动，然后从x轴上的K点进入第四像限。小球P、Q相遇在第四像限的某一点，且竖直方向速度相同。设运动过程中小球P电量不变，小球P和Q始终在纸面内运动且均看作质点，重力加速度为g。求：
(1)匀强电场的场强大小，并推断P球所带电荷的正负；
(2)小球Q的抛出速度v0的取值范围；
(3)B1是B2的多少倍？
【解析】 (1)由题给条件，小球P在电磁场区域内做圆周运动，必有重力与电场力平衡，设所求场强大小为E，有
mg＝qE ①
得E＝ ②
小球P在平板下侧紧贴平板运动，其所受洛伦兹力必竖直向上，故小球P带正电。
(2)设小球P紧贴平板匀速运动的速度为v，此时洛伦兹力与重力平衡，有
B1qv＝mg ③
设小球P以速度v在电磁场区域内做圆周运动的半径为R，有
B2qv＝m ④
设小球Q与小球P在第四像限相遇点的坐标为x、y，有
x＝R，y≤0 ⑤
小球Q运动到相遇点所需时间为t0，水平方向位移为s，竖直方向位移为d，有s＝v0t0 ⑥
d＝gt ⑦
由题意得
x＝s－l，y＝h－d ⑧
联立相关方程，由题意可知v0＞0，得
0＜v0≤(l＋) ⑨
(3)小球Q在空间做平抛运动，要满足题设要求，则运动到小球P穿出电磁场区域的同一水平高度时的W点时，其竖直方向的速度vy与竖直位移yQ必需满足
vy＝v ⑩
yQ＝R ⑪
设小球Q运动到W点时间为t，由平抛运动，有
vy＝gt ⑫
yQ＝gt2 ⑬
联立相关方程，解得
B1＝B2 ⑭
即B1是B2的0.5倍。
【答案】 (1) 正 (2)0＜v0≤(l＋) (3)0.5
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