资源描述
第6课时 全称命题、特称命题
与规律联结词的综合应用
1.进一步生疏含量词的命题的否定形式并推断真假.
2.会将全称命题与特称命题与充要条件结合,进行综合应用.
3.会将全称命题与特称命题与规律联结词结合,进行综合应用.
前面我们讲过一个故事,一位文艺批判家在路上遇到歌德走来,不仅没有相让,反而卖弄聪慧,一边傲岸地往前走,一边大声说道:“我从来不给傻子让路!”面对如此尴尬局面,只见歌德笑容可掬,谦恭地闪在一旁,一边有礼貌地回答道:“呵呵,我可恰恰相反.”
问题1: “我从来不给傻子让路”的等价命题是“只要是傻子,我都不会给他让路”,歌德表达的意思正是对命题“只要是傻子,我都不会给他让路”的否定,那么这个命题的否定是 .
问题2: “且”“或”“非”命题的真假性推断原则:
(1)“且”命题“一假则假、皆真则真”;
(2)“或”命题“ ”;
(3)“非”命题与原命题的真假 .
问题3: 全称命题和特称命题的定义及其表示
含有全称量词“全部的”“任意一个”的命题,叫作全称命题,记为 .
含有存在量词“存在一个”“至少一个”的命题,叫作特称命题,记为 .
问题4: 几种命题的否定
(1)任意x∈M,p(x)成立的否定是 .
(2)存在x∈M,p(x)成立的否定是 .
(3)“p或q”的否定是 .
(4)“p且q”的否定是 .
1.下列命题为真命题的是( ).
A.全部的自然数都是正整数 B.有些三角形不是锐角三角形
C.实数的平方都是正数 D.每个矩形都是正方形
2.下列特称命题中真命题的个数是( ).
①存在x∈N+,x≤0;②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;③存在x∈{x|x是整数},x2是整数.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知命题r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0,假如任意x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,则实数m的取值范围是 .
4.推断下列命题的真假,并写出命题的否定:
(1)有一个实数a,使不等式x2-(a+1)x+a>0恒成立;
(2)对任意实数x,不等式|x+2|≤0成立;
(3)在实数范围内,有些一元二次方程无解.
全(特)称命题的否定
已知命题p:存在x∈[0,π2],cos 2x+cos x-m≥0的否定为假命题,求实数m的取值范围.
全(特)称命题的充分必要性
已知p:任意x∈[-1,2],使4x-2x+1+2-a<0恒成立, q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
复合命题的真假性推断
已知命题p:任意x∈R,sin(π-x)=sin x;命题q:α,β均是第一象限角,且α>β,则sin α>sin β.下列命题是真命题的是( ).
A.p且(q) B.(p)且(q) C.(p)且q D.p且q
已知p:任意x∈R,有ln(x2+ax+2)≥0.
(1)当a=-2时,推断p的真假性;
(2)若p是真命题,求a的取值范围.
已知条件p:“存在x∈R,x2+2ax+2-a=0”,条件q:“任意x∈[1,2],x2-a<0”,则p是q的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
已知命题p:若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为0;命题q:若a>b,则1a<1b.给出下列四个命题:①p且q;②p或q;③p;④q.其中真命题的序号为 .
1.下列命题中是假命题的是( ).
A.任意x∈(0,π2),tan x>sin x B.任意x∈R,3x>0
C.存在x∈R,sin x+cos x=2 D.存在x∈R,lg x=0
2.已知命题p:存在x∈R,使sin x=52;命题q:任意x∈R,都有x2+x+1>0,下列选项中是真命题的是( ).
A.p且q B. (p)或q C.p或(q) D.(p)且(q)
3.已知命题p:任意x∈R,ax2+2x+3>0,假如命题p是真命题,那么实数a的取值范围是 .
4.设命题p:c2<c和命题q:任意x∈R,x2+4cx+1>0.若p和q有且仅有一个成立,求实数c的取值范围.
(2021年·四川卷)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意x∈A,2x∈B,则( ).
A.p:任意x∈A,2x∉B B.p:任意x∉A,2x∉B
C.p:存在x∉A,2x∈B D.p:存在x∈A,2x∉B
考题变式(我来改编):
第6课时 全称命题、特称命题
与规律联结词的综合应用
学问体系梳理
问题1:只要是傻子,我有时会给他让路
问题2:(2)一真则真、皆假则假 (3)相反
问题3:任意x∈M,p(x) 存在x∈M,p(x)
问题4:(1)存在x∈M,p(x)不成立 (2)任意x∈M,p(x)不成立 (3)(p)且(q) (4)(p)或(q)
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1.B 选项A,0是自然数但不是正整数,命题为假.选项B,例如直角三角形或钝角三角形不是锐角三角形,命题为真.选项C,0的平方是0,不是正数,命题为假.选项D,邻边不相等的矩形不是正方形,命题为假.
2.C ①为假命题,②③为真命题.
3.2≤m<2 sin x+cos x=2sin(x+π4)∈[-2,2].由于对任意的x∈R,r(x)为假命题,即对任意的x∈R,不等式sin x+cos x>m恒不成立,所以m≥2.又对任意的x∈R,s(x)为真命题,即对任意的x∈R,不等式x2+mx+1>0恒成立,所以Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.故假如对任意的x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,应有2≤m<2.
4.解:(1)对于方程x2-(a+1)x+a=0的判别式Δ=(a+1)2-4a=(a-1)2≥0,则不存在实数a,使不等式x2-(a+1)x+a>0恒成立,所以命题为假命题.它的否定:对任意实数a,使x2-(a+1)x+a>0不恒成立.
(2)当x=1时,|x+2|>0,所以原命题是假命题,它的否定:存在实数x,使|x+2|>0.
(3)真命题,它的否定:在实数范围内,全部的一元二次方程都有解.
重点难点探究
探究一:【解析】由于p是假命题,所以命题p是真命题.
即命题p:存在x∈[0,π2],cos 2x+cos x-m≥0为真命题.
即存在x∈[0,π2],使m ≤cos 2x+cos x成立.
f(x)=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1=2(cos x+14)2-98,
由于x∈[0,π2],cos x∈[0,1],所以f(x)∈[-1,2].
所以当m≤2时,存在x∈[0,π2],cos 2x+cos x-m≥0.
【小结】特称命题的否定是全称命题,而且它们的真假相反,转化时最好转化为真命题解答.
探究二:【解析】关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t∈[12,4],则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t∈[12,4]恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t∈[12,4]时,ymax=10,所以a>10.
关于q:只需a-2>1,即a>3.
所以p是q的充分不必要条件.
【答案】A
【小结】本类题目主要是利用全称命题、特称命题的定义,结合充分必要条件、参数等综合.理解并转化往往是解题的关键,本题中恒成立问题转化为求函数的最值问题.
探究三:【解析】由诱导公式可知p为真命题.若α,β为第一象限角,不妨取α=π6+2π,β=π6,满足α>β,但sin α=sin β,所以命题q为假命题,所以q为真命题,所以p且(q)为真命题,选A.
【答案】A
【小结】利用有关的数学概念、定理、公式可以推断推证真命题,而对于假命题的推断则只需举出一反例即可说明.
思维拓展应用
应用一:(1)当a=-2时,由于x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以命题p:任意x∈R,有ln(x2+ax+2)≥0是真命题,所以命题p是假命题.
(2)p:存在x∈R,有ln(x2+ax+2)<0或y=ln(x2+ax+2)的值不存在.
即存在x∈R,有x2+ax+2<1,
即存在x∈R,有x2+ax+1<0.
只需Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2,
所以p是真命题时,a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
应用二:B p成立时,Δ=(2a)2-4(2-a)≥0 即a≥1或a≤-2;q成立时,a>x2,x∈[1,2]恒成立,所以a>4,明显p⇒/ q,而q⇒p,故p是q的必要不充分条件.
应用三:②④ 由于p为真命题,q为假命题,所以“p且q”为假,“p或q”为真,“p”为假,“q”为真.
基础智能检测
1.C 由于sin x+cos x=2sin(x+π4),所以函数的最大值为2.所以C错误.
2.B 命题p为假命题,命题q为真命题,故A,C,D错误,答案选B.
3.a≤13 由于命题p是真命题,所以命题p是假命题,而假设当命题p是真命题时,就是不等式ax2+2x+3>0对一切x∈R恒成立,这时应有a>0,Δ=4-12a<0,解得a>13,因此当命题p是假命题,即命题p是真命题时,实数a的取值范围是a≤13.
4.解:p:由c2<c得0<c<1;q:由Δ=16c2-4<0得-12<c<12.
要使p和q有且仅有一个成立,则实数c的取值范围为(-12,0]∪[12,1).
全新视角拓展
D 由全称命题和特称命题的关系可得.
思维导图构建
必要条件 充要条件 至少一个 两个都 p或q p且q
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