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双基限时练(七)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．10 B．9
C．12 D．11
解析 ∵{an}为等比数列，a1＝1，∴a1·a2·a3·a4·a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝am，又am＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.
答案 D
2．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析 ＝q3＝8，∴q＝2.
答案 A
3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( )
A. B.
C. D．2
解析 设公比为q，由题意得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，得q2＝2，∵q>0，∴q＝，∴a1＝＝＝.
答案 B
4．设a1＝2，数列{1＋an}是以3为公比的等比数列，则a4的值为( )
A．80 B．81
C．54 D．53
解析 由题意得1＋a4＝(1＋a1)·q3＝3×33＝34＝81，
∴a4＝81－1＝80.
答案 A
5．已知a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋2bx＋c的图像与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析 由a，b，c成等比数列，知b2＝ac，∴Δ＝4b2－4ac＝0，∴交点个数为1个．
答案 B
6．假如a，b，c成等比数列，m为a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 ∵m为a，b的等差中项，∴a＋b＝2m，又n为b，c的等差中项，∴b＋c＝2n，∴＋＝＋＝＋＝＋＝2.
答案 C
二、填空题
7．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a的取值范围是________．
答案 a≠0，且a≠1
8．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________.
解析 由a、b、c成等差数列，得2b＝a＋c，
由c，a，b成等比数列得a2＝bc，
∴a2＝·c，得2a2－ac－c2＝0，
(2a＋c)(a－c)＝0，又a、b、c互不相等，
∴c＝－2a，∴2b＝－a.
∴a＋3b＋c＝a－a－2a＝10，得a＝－4.
答案 －4
9．已知{an}为等比数列，且公比为2，则＝____________.
解析 ＝＝＝.
答案
三、解答题
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求证数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．
证明 ∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2，
∴数列{an＋1}为等比数列，
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
11．已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求数列{an}的通项公式．
解 ∵{an}为等比数列，∴a2＋a4＝＋a3q＝＋2q＝，∴3q2－10q＋3＝0，得q＝或q＝3.
当q＝时，an＝a2·qn－2＝2×n－2；
当q＝3时，an＝a2·qn－2＝2·3n－2.
12．设数列{an}的前n项和为Sn＝n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1，求{an}，{bn}的通项公式．
解 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又当n＝1时，2n－1＝1，
∴an＝2n－1.
由题意知，{bn}为等比数列，b1＝a1＝1，b2(a2－a1)＝b1，
∴＝＝.
∴bn＝b1·n－1＝n－1.
思 维 探 究
13．等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解 (1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)知a3＝8，a5＝32，得b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有
得∴bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
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