资源描述
A组(供高考题型为填空题的省份使用)
1．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．
解析 依题意知，ρ＝2，θ＝－.
答案
2．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是(α为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________．
解析 依题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2y＝0，
所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0.化简得ρ＝2sin θ.
答案 ρ＝2sin θ
3．在极坐标系中，点P到直线l：ρsin＝1的距离是________．
解析 依题意知，点P(，－1)，直线l为：x－y＋2＝0，则点P到直线l的距离为＋1.
答案 ＋1
4．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．
解析 由题意得S△AOB＝×3×4×sin＝×3×4×sin ＝3.
答案 3
5．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是________．
解析 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，
∴x2＋y2＝x，整理得2＋y2＝，
∴所表示的图形为圆．
由得消t得3x＋y＋1＝0，
∴所表示的图形为直线．
答案 圆，直线
6．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．
解析 消去参数θ得曲线方程为＋y2＝1(0≤y≤1)，表示椭圆的一部分．消去参数t得曲线方程为y2＝x，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立两方程，解得交点坐标为.
答案
7．直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________________.
解析 直线y＝xtan α，圆：(x－4)2＋y2＝4，如图，sin α＝＝，
∴α＝或.
答案 或
8．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析 将ρ＝2sin θ＋4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.
答案 x2＋y2－4x－2y＝0
9．已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
解析 消去参数t得抛物线C的标准方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，所以过点(2,0)且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，由题意得r＝＝.
答案
10．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1交点的极坐标为________．
解析 ∵ρ＝2sin θ，∴x2＋y2＝2y.
∵ρcos θ＝－1，∴x＝－1，∴两曲线交点的直角坐标为(－1,1)，∴交点的极坐标为.
答案
11．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C交点的直角坐标为____________．
解析 圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，
直线l的直角坐标方程为y＝1.
⇒或
∴l与⊙C的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)．
答案 (－1,1)，(1,1)
12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．
解析 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.
联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为.
答案
13．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，它与曲线(α为参数)相交于两点A和B，则|AB|＝________.
解析 极坐标方程θ＝(ρ∈R)对应的平面直角坐标系中方程为y＝x，(α为参数)⇒(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1,2) ，r＝2.圆心到直线y＝x的距离d＝＝，|AB|＝2＝2 ＝.
答案
14．在极坐标系中，点到直线ρsin θ＝2的距离等于________．
解析 极坐标系中点对应直角坐标系中坐标为(，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y＝2，∴点到直线y＝2的距离为d＝1.
答案 1
15．圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为________．
解析 如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，
则|OP|＝ρ，∠POA＝θ－，
|OA|＝2×3＝6，
在Rt△OAP中，
|OP|＝|OA|×cos∠POA，
∴ρ＝6cos.
∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos.
答案 ρ＝6cos
B组(供高考题型为解答题的省份使用)
1．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，求圆C的极坐标方程．
解 将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.
再将C化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－)2＝5，
化简得ρ2－4ρcos－1＝0.
此即为所求的圆C的极坐标方程．
2．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．
解 曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.
直线l的参数方程化为一般方程为x－y－1＝0，曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为＝，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为2 ＝.
3．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的一般方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
4．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解 (1)∵C1的参数方程为
∴
∴(x－4)2＋(y－5)2＝25(cos2t＋sin2t)＝25，
即C1的直角坐标方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，
把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－4)2＋(y－5)2＝25，
化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
解方程组得或
∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．
∴C1与C2交点的极坐标为，.
5．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已
知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
解 (1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，，
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
由参数方程可得y＝x－＋1，
所以解得
6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
解 法一 (1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得2＋2＝5，
即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
法二 (1)同法一．
(2)由于圆C的圆心为(0，)，半径r＝，直线l的一般方程为：y＝－x＋3＋.
由得x2－3x＋2＝0.
解得： 或不妨设A(1,2＋)，
B(2,1＋)，又点P的坐标为(3，)．
故|PA|＋|PB|＝＋＝3.
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