资源描述
双基限时练(十七) 数乘向量
一、选择题
1．已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有( )
①a＝5e1，b＝7e1；②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析 ①中a与b明显共线；②中，由于b＝3e1－2e2＝6(e1－e2)＝6a，故a与b共线；而③设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)无解，故a与b不共线，故共线的有①②，故选A.
答案 A
2．下列计算正确的个数是( )
①(－2)(3a)＝－6a；②(a＋3b)＋(－a－3b)＝0；
③2(a＋b)－3(b－2a)＝8a－b.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ②中，(a＋3b)＋(－a－3b)＝0，故②不正确，①③均对．
答案 C
3．△ABC中，点D是BC边的中点，设＝a，＝b，用a，b表示为( )
A. a＋b B. a＋b
C. a＋b D. a＋b
解析 方法一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选D.
方法二：以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，则点D是平行四边形对角线的中点，所以＝＝a＋b，故选D.
答案 D
4．线段AB的中点为C，若＝λ，则λ的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D.或2
解析 ∵＝，∴＝＋＝2＝－2.
答案 B
5．设e1，e2是两个不共线的向量，则a＝e1＋λe2(λ∈R)与向量b＝－(e2－2e1)共线的条件是( )
A．λ＝0 B．λ＝－1
C．λ＝－2 D．λ＝－
解析 由题可知，b＝－e2＋2e1＝k(e1＋λe2)，得λ＝－.
答案 D
6．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于( )
A．a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析 ＝a＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b，故选B.
答案 B
7．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
解析 由平面对量基本定理，得，∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.
答案 A
二、填空题
8．已知2(x－a)－(b＋c＋3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则x＝________.
解析 由已知得：x－a－b－＋b＝0，
得x＝a－＋，
得x＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
9．设＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则共线的三点是__________．
解析 ＝＋＝a＋5b，∴＝，
即A，B，D三点共线．
答案 A，B，D
10．已知O是△ABC内一点，＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
解析 如图，在△ABC中，设D为AC的中点，四边形OCEA为平行四边形，
∴＋＝.
且△ADE≌△CDO，
∴S△AOC＝S△AOE.
又＋＝－3，即＝－3，
∴＝＝＝.
答案
三、解答题
11．化简下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
解 本题可利用结合律和安排律进行化简．
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)
＝6a－3b－8a＋6b
＝－2a＋3b.
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b
＝a＋b－a＋b－b
＝a＋b
＝－a.
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)
＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c
＝(6－6)a＋(－8－3)b＋(2＋9)c
＝－11b＋11c
＝11(c－b)．
12．已知向量m，n是不共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn.
(1)推断a，b是否平行；
(2)若a∥c，求x的值．
解 (1)若a∥b，则b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，
∴⇒⇒λ不存在，
∴a与b不平行．
(2)∵a∥c，
∴c＝ra.
∴m＋xn＝r(3m＋2n)．
即⇒
所以x＝.
13．已知两个非零向量a、b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.
(1)证明：A、B、C三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
解 (1)由于＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b，则＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b.
而＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
于是＝2，即与共线．
又AC与AB有公共点A，所以A、B、C三点共线．
(2)由于a、b为非零向量且不共线，所以a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得(k－λ)a＝(λk－1)b.
因此
解得或
即存在实数λ＝1，使ka＋b与a＋kb共线，此时k＝1；或存在实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb共线，此时k＝－1，因此k＝±1都满足题意．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
